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2018年度 (平成30年度)洛星中学校 入試問題 算数 大問5(1) ~進み方の場合の数~ [中学受験算数]

本日はお休みをいただいております。
(突然の呼び出しがなければ・・・)

本日取り上げるのは、2018年の洛星中より、「進み方」の問題です。

2018洛星大問5-1.jpg
(イ)このとき、4秒後に交差点Aにいるような動き方は何通りあるか。

実際には(1)だけで(ア)(イ)の二題が出題されているのですが、ここでは(イ)のみ取り上げます。
(ア)は結構簡単なので・・・

ちなみにこの(イ)も難関校受験生にとってはスタンダードで簡単に解ける問題です。
にも関わらず取り上げたのは、後日ご紹介する(2)との並びが厄介だったためです。
似たような問題なのに、同じように解かない方が良い・・・という、引っ掛けみたいな要素があります。

前置きはこのくらいにして、本題に入ります。
ここでは、1秒後、2秒後・・・と、それぞれの点にくる場合の数を図に書き入れていきます。

2018洛星大問5-1イ20180218-1.jpg

2秒後の図に示された点以外に進むと、4秒後にAへ戻ってこれません。
よってこれらの点以外は無視します。
続けましょう。

2018洛星大問5-1イ20180218-2.jpg

以上より、答えは36通りとなります。

次回、(2)もご紹介しますので、しばしお待ちください。

それでは、今日はこのあたりで。


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2018年度 (平成30年度)洛南高等学校附属中学校 入試問題 算数 大問4(3) ~直角三角形の相似~ [中学受験算数]

二回に続いて取り上げてきました、2018年の洛南中、大問4。
今回は最終回の、(3)です。
前回および前々回を未読の方は、ぜひぜひ。

2018年度 (平成30年度)洛南高等学校附属中学校 入試問題 算数 大問4(2) ~対称図形~

2018年度 (平成30年度)洛南高等学校附属中学校 入試問題 算数 大問4(2) ~追記~

さて、さっそく今回の問題を見てみましょう。

2018洛南算数大問4-3.jpg

円がありますので、基本に従って、中心から頂点へ、補助線を引きます。
ただ全て引いてしまうと見辛いので、ここでは一部の線のみ引きます。
加えて、中心から辺に向かって、垂線を下ろします。
これはむやみに引いたわけではなく、「直角三角形」「相似」あたりがアヤシイよね?という考えからです。
ほら、台形を見たら・・・垂線とか、引いてみたくなりますから。(ならない?)
(もっと言えば、6÷2=3cmと5cmで、3:5・・・とくると3:4:5、直角三角形がアヤシイ)

で、引いた結果がこちら。

2018洛南算数大問4-3-120180215-1.jpg

ここで、左上(右上)がなんだか寂しいなと思いますよね。
(寂しい=このままでは上底の長さにつながらない)
よって、こんな作図もしてみます。
相似形ができるので、3:5に着目し、長さも求めておきます。

2018洛南算数大問4-3-120180215-2.jpg

×の角度が同じ理由は、中心から頂点に補助線(=半径)を引いたとき、
下底・左の辺・右の辺にできる二等辺三角形が、すべて合同になるからです。
続いて、次のように考えます。

2018洛南算数大問4-3-220180215-2.jpg

上の図でのポイントは、「×-○と90°を含む直角三角形」の辺の比が25:7であることです。
これと相似な直角三角形、実はこんなところに出てきます。

2018洛南算数大問4-3-320180215-1.jpg

これで、上底も求まりましたね。
6+(42/25)×2=9 9/25 cm


図形の中に二種類の直角三角形が登場する。
この手の問題は、難関校には頻出ですね。
2018年だと、甲陽の二日目にも出題がありました。(少々露骨でしたが)
図中に直角三角形を見つけると、ついつい全て相似なのではないかと思いがちなんですが・・・
その心理を突いた問題なのかもしれませんね。
思い込みを捨て、慎重に判断したいものです。

本日は午前中から、高卒生(浪人生)の英語・化学指導です。
英語が不定詞の復習&読解。
化学は、気体の溶解度へと突入する予定です。

それでは、失礼いたします。


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2018年度 (平成30年度)洛南高等学校附属中学校 入試問題 算数 大問4(2) ~追記~ [中学受験算数]

さて、昨日の記事の追記です。
まだ読んでいない方は、是非前回分から読んでみて下さい。
図形の基本知識があれば、理解できると思います。


2018年度 (平成30年度)洛南高等学校附属中学校 入試問題 算数 大問4(2)

問題を再掲します。

大問4-2.jpg

早速説明に入ります。
まず、△ABEと△CBDは相似形です。(二角相等)
よって、AE:CD=AB:CBとなります。(対応辺の比)
ここで仮定より、AE=ADですから
AD:CD=AB:CB
となります。
これはよくよく考えてみると、角二等分線の性質で出てくる比ですね!
よって、角二等分線の性質の逆から、
直線DBは∠ADCを二等分する
と言えます。
∠ADCは120°ですから、
∠ADB=∠CDB=60°
となります。
すると、∠AEB=∠CDB=60°です。
そうすれば、「あ」の角度も計算できますね。

ただ、小学生の範囲で「角二等分線の性質」の話をおおっぴらにしてよいものか?というタテマエの疑問は一応持っておきたいので・・・
あくまで参考程度、ということで。
(証明できるなら、大いに使って下さい)

次回は、同じ洛南の大問4の(3)の予定です。
こちらはちょっと灘の一日目っぽいというか、イイカンジのざっくり感が心地よい問題です。
(受験生はたまったものじゃないかな?)

今日は朝から、4月で中学一年生になる生徒の英語・数学指導です。
中学受験を終えてから、一か月ぶりの指導です。
同じ生徒とはいっても内容が変わってくるので、どのような指導にしていくか、楽しみですね。

それでは、このあたりで失礼します。


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2018年度 (平成30年度)洛南高等学校附属中学校 入試問題 算数 大問4(2) ~対称図形~ [中学受験算数]

こんにちは。
今日は、超難問の解説です。
2018年の洛南高校附属中、大問4の(2)。
今年の中学入試問題でも、最難関の部類ではないでしょうか。
それでは、まず問題をご覧ください。

大問4-2.jpg

見たことがありそうで、見たことがない。
一見単純そうで、実は糸口がつかめない。
厄介なタイプの問題です。
ただ、等しい辺にクローズアップした問題ですから・・・
正三角形二等辺三角形が絡む問題の可能性が高いです。
そこから、場合によっては相似形合同が絡んできますよね。

とは言っても、本問は、このまま眺めていても埒が開きません。
というわけで、次のように作図します。

大問4-2-120180215.jpg

どういった作図かと言いますとこれは直線ACについて線対称に作図したものです。
なんとかして、正三角形が重なる状態にもっていく方法を考えた結果が、こちらです。
まず、△ADE'と△AED'が正三角形になります。(∠DAE'と∠EAD'は60°、それぞれ二等辺三角形)
よって、∠AED'と∠ADE'も60°です。
すると、「あ」=180°-(60°+42°)=78°
となります。

続いて、∠BDCと∠BD'Cも60°です。

大問4-2-220180215.jpg

すると、やはり△FD'C、△F'DCも正三角形となり、
∠FCB=∠FCD'-∠BCD'=60°-42°=18°
よって、「い」=180°-(78°+18°)=84°
となります。

とにかく、正三角形をいかにして見つけるか(作るか)、がカギを握ります。
洛南を受けに来る生徒の学力がいくら高いからと言っても、ちょっとこれはハードだったかなあと思います・・・。
他の問題とのレベルの兼ね合いを考えると、解けなくても合否に影響のない問題だったと言えるでしょう。

この問題は極端に難しいですが・・・
等しい辺があるところには正三角形・二等辺三角形が隠れている
という原則に、改めて実感できる問題だと思います。
(難しいですけどね)

ちなみに、∠ADBと∠CDBが60°であることは、他の方法でもわかります。
(算数の範囲を超えている気もするのですが・・・)
また次回にでも、ご紹介しますね。


今日は朝から授業です。
それでは、失礼いたします。



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昨日の指導('18 2/14) [今日の指導]

本日はお休みをいただいていますので、昨日の指導内容についてお話します。

まずは、高校数学。
空間ベクトル、図形と方程式の復習でした。

空間ベクトルについては、まずは四点が同一平面上にある条件を忘れてしまっていたようで、そこから復習しました。
この条件は二種類ありますので、どちらも確実に抑えておきたいところです。

・AP=sAB+tAC
・OP=sOA+tOB+uOC (s+t+u=1)
(以上、ベクトル記号省略)

特に、OP=sOA+tOB+uOCを使うときに、s+t+u=1を忘れないようにしないといけません。
未知数が3つ→方程式が3つ必要ですが、s+t+u=1を抜かすと、条件不足になります。

図形と方程式に関しては、円の方程式の決定を主な内容として学びました。
円の方程式は2種類ありますので、その使い分けの話ですね。
条件を見て、どの形で設定すればよいか、判断することが大切です。


その後移動し、高卒生の英語・化学。
英語は、不定詞の復習。
用法の区別をする、という意識がとても弱く、いつも「~ために」(副詞用法)と訳しがち。
思い込みを捨てて、視野を広げないといけません。慣れが必要ですね。

化学に関しては、気液平衡の話がメイン。
次回以降、「飽和蒸気圧を超えて液体として出てくる」パターンに入る予定です。
分圧の話、覚えていると良いんですが・・・


そしてまたまた移動し、中学生の英語。
試験前なので、試験対策です。

中学生の英語は、一般的に文法問題の演習に偏っています。
「いや、授業では英文をたくさん読んでいるよ」「教科書は英文メインだよ」と言われるかもしれませんが・・・
実際に課題として出されるワークブックは、文法に偏っています。
英文解釈問題にしても、すべて英文を読まなくてもできるような問題ばかり。
(3割くらい分かれば、ある程度解けるような)

生徒の多くは課題とテスト勉強しかこなしませんから、これでは英文を読む量が不足するのではないかと思います。
高校に入ったときに感じる「英語のギャップ」は、このあたりにも一因があるかもしれません。
実際に私立一貫校ですと、中学生のときから英文をそれなりの量、読ませられます。
高校の学習への入りを、スムーズにする目的なのだと思います。

そんなことを考えながら、指導していました。


明日は朝から高卒生の指導、夜が中高一貫校の中学英語の予定です。

それでは、失礼いたします。


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