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2016年 灘中学校 二日目 第1問 ~その2~ [中学受験算数]

気づけば1月も終わりですね。
ぱらぱらと打ち合わせのお話を頂いていまして、嬉しい限りです。
3月か4月くらいまでにオファーを頂けますと、スケジュールを確保できる確率が高いです。

さて、前々回の記事の続きです。
角度を変えて考察してみます。
今回も長い長い記事になりますが、まずは前回の記事をご覧ください。

2016年 灘中学校 二日目 第1問 ~その1~

ではいきましょう。

まず前提として頭に入れておきたいのは、数字が1~2016までという点です。
これは2進法で考える際にとても重要になります。
この範囲を2進法で表すと、1~11111100000となります。

また2進法では、数字が1、10、11、100、101、110、111・・・・11111011111、11111100000
のように進みます。
前回の記事をご参照ください。

2016年 甲陽学院中学校 二日目 第1問(2) ~n進法の考え方~

ここからは、前回と同様に操作を分けて考察します。

・1~1008回目
2進法で考えると、ここでは□□□□□□□□□□1の形の数が取り除かれます。
(これはすなわち奇数であることを示す)
□内には0または1が入りますので、2^10=1024個が取り除かれます。
・・・・・・・・・・・・・・
・・・・・・・・・・・・・・
と、思ってしまいがちなのですが。
ここで落とし穴があるんですね。
というのも、□□□□□□□□□□1の形の数の中には、11111100000(2016)よりも大きな数が含まれます。
具体的には、111111□□□□1の形の数です。
よってこの形の数を、1024個から引かなければなりません。
111111□□□□1の□には0または1が入りますので、2^4=16個
よってこの操作は1024-16=1008回、となるわけです。

・1009回目~1512回
さて、先の操作で□□□□□□□□□□1の形の数が取り除かれたことで、
□□□□□□□□□□0
の形の数のみ残っています。
そしてもちろん、最大の数である11111100000が残っています。
これは列の右端へ移されるので、列の左端には現時点で最小の00000000010が来ます。
するとこの00000000010は取り除かれ、そして次の00000000100は残ります
その次の00000000110は取り除かれます。
と考えていきますと、ここで取り除かれるのは□□□□□□□□□10の形の数字です。
操作の回数は先ほどと同様に考え、2^9-2^3=504回です。
111111□□□10のパターンが存在しないことに注意してください。

・1513回~1764回
暫くは上の操作と同じになります。
ここでは□□□□□□□□100の形の数字が取り除かれますが、111111□□100の形の数を引いて、
2^8-2^2=252回の操作となります。

・1765回~1890回
全く同様です。□□□□□□□1000が取り除かれますが、111111□100を引いて、
2^7-2^1=126回

・1891回~1953回
同じように□□□□□□10000が取り除かれますが、ここでは11111110000のみ引くことになります。
2^6-2^0(1のことです)=63回

ここまでは、最大の数11111100000(=2016)が残っていますので、
全く同じように考えることができました。しかし・・・

・1954回~1985回
さて、この場合はどうでしょう。
同じように考えて□□□□□100000の形の数が取り除かれるのは間違いないのですが、
今回は11111100000が存在するので、先ほどまでのように引く必要がありません。
よって操作は2^5=32回、となります。
そして現時点で残る数字は、全て□□□□□000000の形です。
最大の数は、11111000000(=1984)となります。

さて、ここで注意せねばなりません。
というのも、最大の数である11111100000が取り除かれることで、
その時点で残る最小の数00001000000(=64)が左端へ移動
そしてその次の00010000000(=128)が取り除かれるからです。
ということは・・・

・1986回~2000回
上記のことより、□□□□0000000の形が取り除かれることになります。
この操作は2^4回かと思われがちですが、実は00000000000を含んでしまっているので、
2^4-1=15回が正解です。
ここで残っている数は、□□□□1000000の形のものです。
最大の数11111000000は、作業終了時点でももちろん残っています。

・2001回~2008回
先ほどの作業終了後に残っている数は、□□□□1000000の形のものです。
最も小さなものは00001000000で、これは取り除かれます。
そしてその次の00011000000は残り、さらに次の00101000000は取り除かれます。
となりますと、□□□01000000が取り除かれることになります。
作業は2^3=8回。
一方残るのは□□□11000000です。
最大の数11111000000も残っています。

・2009回~2012回
残っている数は□□□11000000の形です。
すると最小の数は00011000000なので、取り除かれます。
次の00111000000は残り、その次の01011000000は取り除かれます。
よってここで取り除かれるのは□□011000000の形のもので、
残るのは□□111000000の形のものです。
最大の数11111000000はやはり残ります。
作業は2^2=4回

・2013回~2014回
残っているのは□□111000000の形なので、
最小の数は00111000000で、取り除かれます。
続く01111000000は残ります。
するとここで取り除かれるのは□0111000000の形となります。
残るのは□1111000000の形です。
もちろん、11111000000は残っています。
作業は2回

・2015回目
残っているのは□1111000000の形なので、
小さい方の01111000000が取り除かれ、
大きい方の11111000000が残ります。
作業は1回

以上で作業は終了です。


問題の解き方は、前回説明した分とさほど変わりません。
ただこの解法ですと公差の計算などをする必要が無くなりますので、非常に楽に調べられると思います。
場合の数の考え方が得意な小学生は、こちらの方が早く解けるでしょう。

というわけで、2016を2進法に直した時の性質に注目した解法でした。

次回はまた2016年の灘から、良い問題を選べたらと思います。
(どの問題を取り上げるか、検討中です)
楽しみにお待ちください。


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2016年 甲陽学院中学校 二日目 第1問(2) ~n進法の考え方~ [中学受験算数]

前回の記事で、2進法の話を少しだけしました。
そこで「甲陽でも2016を2進法に直す問題が出た」といった趣旨の話を出しましたので、先にここでご紹介しておきます。

2016甲陽二日目第1問.jpg

ここで「2進法そのまんまじゃないか!」と思った方は、2進法の意味が分かっていることになります。
一方、この問いで2進法が思い浮かばなければ、2進法のことをよく分かっていないと言えるでしょう。

そもそもn進法とは何か?

例えば私たちが一般的に使っている10進法ですと、0~9までの10個の数字を使って値を表します。
数字が10個しかないので、たとえば9より一つ大きい値を表そうとすると、
数字を1つだけ並べるのでは表せません。
そこで数字を二つ横に並べることにしたわけですね。
つまり、「10」といった数字の並びで、9より一つ大きい値を表したわけです。
結果として、この左側の数字は「1」の数字を使ってはいますが、値としては9より一つ大きな値を表します。
よって「10の位」と言うことにしたんですね。

同様に「100」の並びの最も左側の数字は、99よりも一つ大きな値を表すので「100の位」と言います。
私たちはその法則を活用して、値を表しているわけですね。

ということは、2進法とは何か?
0と1の2つの数字しか使えませんので、1よりも一つ大きな値を表すには、
次の位に数字を入れるしかありません。
だから2進法での「10」の左の数字は、「2」の値を表すんですね。
同様に、「100」の最も左の数字は「11」(10進法で言えば3)よりも1大きな値を表しますので、
「4の位」と言えます。
その後は「8の位」、「16の位」・・・と、2のn乗の位になっていきます。

余談ですが、秒・分・時間は60進法と言えます。
0~59の数字のみを使い、「60秒」の値を表すには「1分」と言いますよね。
これは立派な60進法と言えます。


さて、ではこの問題はどうやって解くか?
正直に解くと、以下のようになります。

2016÷1024=1・・・992
992÷512=1・・・480
480÷256=1・・・224
224÷128=1・・・96
96÷64=1・・・32
32÷32=1・・・0

言い換えれば、
0×1+0×2+0×4+0×8+0×16+1×32+1×64+1×128+1×256+1×512+1×1024
ということになりますので、左から0、0、0、0、0、1、1、1、1、1、1となります。

しかし2進法であることに気づけば、2016=11111100000(2進法)であることより、
すぐに導くこともできます。
1、2、4、8、16、32・・・・・1024という数字は、2進法の位の値だからです。
2016を2進法の11111100000に直すにはすだれ算が有効でしょう。


さて、次回は話を戻して、いよいよ灘の問題を2進法で無理やり(?)考察します。
出来るだけ早く更新します。
しばしお待ちください。


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2016年 灘中学校 二日目 第1問 ~その1~ [中学受験算数]

さて、2016年 灘中の二日目からの問題です。
「2016」という数字の性質を利用した問題が出題されることは、多くの人が予想していたでしょう。
自分もその一人で、特に2016を2進法に直すと11111100000になることは、
どこかで出てくると思っていました。

実際にフタを開けてみると、甲陽学院中に簡単な計算が出題され、
そしてこの灘でも間接的ではありますが、出題されたのです。

では、まず問題を見ていただきましょう。

2016灘二日目第1問.jpg

先ほど「間接的」と申しましたのは、2進法など使わずとも何の問題もなく解けるからです。
と言うわけで、今回はごく普通に、素直に解いてみましょう。

問題番号を気にせずに、どんどん操作していきます。


・1~1008回目
取り除かれるのは、全て奇数です。(1,3,5,.........2015)
逆に言えば、偶数が残ります。(2,4,6,..........2016)
数列の公差はともに2
奇数は1008個なので、1008回目の作業までは全て奇数になります。

・1009回目~1512回
1008回目の取り除きが終わったあと、2016が列の一番右に移されます。
すると、列の頭は2となります。この2は取り除かれます。
同時に4が列の右に回され、次に6が取り除かれます。
結局、取り除かれるのは2,6,10,.........2014という等差数列になります。(504個)
逆に残るのは、4,8,12,.........2016と、4の倍数になります。(504個)
数列の公差はともに4
これらの作業が終了した時点では、1008+504=1512回、となります。

・1513回~1764回
1512回目の取り除きが終わったあと、また2016が列の一番右に移されます。
すると列の頭は4となり、この4は取り除かれます。
それと同時に8が列の後ろへ回され、次の12が取り除かれます。
繰り返すと、取り除かれるのは4,12,20,........2012の等差数列になります。(252個)
一方残る数列は、8,16,24,.........2016と、8の倍数になります。(252個)
数列の公差はともに8
これらの作業が終了した時点では、1512+252=1764回です。

・1765回~1890回
さて、1764回目の取り除きが終わったあとも2016が残っていますので、列の一番右へ移されます。
列の頭は8となり、取り除かれます。
同時にその後ろの16は列の右へ移され、次の24が取り除かれます。
繰り返すと、取り除かれるのは8,24,40,........2008となります。(126個)
残る数列は、16,32,48,.........2016と、16の倍数です。(126個)
数列の公差はともに16
この時点での作業回数合計は、1764+126=1890回。

・1891回~1953回
1890回目の取り除きの後も2016は残っており、やはり列の一番右へ。
列の頭は16となり、これが取り除かれることになります。
次の32は列の右へ、その次の48は取り除かれる。
すると取り除かれるのは16,48,80,........2000となります。(63個)
一方残る数列は、32,64,96,.......2016と、32の倍数です。(63個)
数列の公差はともに32
作業回数の合計は、1890+63=1953回。

・1954回~1985回
1953回目の取り除きの後も、まだ2016は残っています。列の一番右へ。
列の頭は32になるので取り除かれ、64が一番右へ移されて96が取り除かれます。
すると取り除かれるのは、32,96,160,..........2016となります。(32個)
残るのは、64,128,192,..........1984と、64の倍数です。(31個)
数列の公差はともに64
作業回数の合計は、1953+32=1985回。

ここで非常に重要なのは、今まで列の一番右にあり続けた2016が取り除かれることです。
なぜ重要なのかと言いますと、2016が取り除かれることで、
残った列の頭の64が列の一番右へ回されるのです。
これまでは2016が残っていたために、2016を右に回していましたよね。
それによって、残った列の頭が取り除かれていました。
今回は、逆なんですね。

このことを考慮すると・・・

・1986回~2000回
先ほどの作業で2016が取り除かれてしまったために、
残った列の先頭である64が列の一番右へ
128が取り除かれ、次の192は列の右へ。
結局取り除かれる数列は、128,256,384,........1920と、128の倍数になります。(15個)
残る数列は、64,192,320,.........1984です。(16個)
数列の公差はともに128
作業回数は、1985+15=2000回。

・2001回~2008回
2000回目の取り除きのあと、最後尾の1984は残っていますので、右へ。
よって残った数列の頭である64は取り除かれ、192が右へ移されます。
次に320が取り除かれ、448が右へ。
取り除かれる数列は、64,320,576,.......1856となります。(8個)
残る数列は、192,448,704,........1984となります。(8個)
数列の公差はともに256
作業回数は、2000+8=2008回。

・2009回~2012回
2008回目の取り除きのあとも1984は残るので、右へ。
すると残った数列の頭にある192は取り除かれ、次の448は右へ移されます。
その次の704は取り除かれ、また次の960は右へ。
取り除かれる数列は、192,704,1216,1728の4個。
残る数列は、448,960,1472,1984の4個。
数列の公差はともに512
作業回数合計は、2008+4=2012回。

・2013回~2014回
2012回目の取り除きのあとも1984はしぶとく残る。右に移す。
残った数列の頭にある448は取り除かれ、次の960は残る。
その次の1472は取り除かれ、そのまた次の1984はやはりしぶとく残ります。
よって取り除かれる数列は、448,1472
残る数列は、960,1984
数列の公差はともに1024

・2015回目
1984が同様に右に移され、960が取り除かれます。
よって最終的には、1984が残ります。


調べるのが大変に思えますが、数列の公差が2倍になっていくことが分かれば、
比較的簡単に調べられると思います。
特に2016が取り除かれる1985回目の作業までは、
残る数列が2の倍数、4の倍数、8の倍数...となっています。
ここまでは、一気に法則化して調べても良いかもしれませんね。
ただし2016が取り除かれた後は、要注意です。

ちなみに、(4)に書いてある断り書きがヒントになっています。
「ただし、空欄②に入る数は0ではない」
これはおそらく「2で割ると0余る」なんて解答を防ぐためだったのでしょうが・・・
もし仮に2016を取り除いた場合の違いに気付けなかった人がいたとすると、
ここの空欄には「128で割ると0余る」(128の倍数である)と入れるしかなくなります
(取り除く数列と残る数列がひっくり返る)
よって、間違いに気づけるようになっているんですね。


さて、解答です。

(1)
1009回目は、1008回目で2015を取り除き、2016を右へ移した直後。
よって2

(2)
1000は8の倍数なので、1764回目終了時点では残ります。
ただし16の倍数ではないので、1765回~1890回の間にあります。
この時に取り除かれる数列、8,24,40.......は初項8、公差16の等差数列ですので、
(1000-8)÷16+1=63回
よって合計の作業回数は、1764+63=1827回、となります。

(3)
上で述べた通り、1985回目で2016は取り除かれます。

(4)
上記の通り、2000回目終了時点で残っているのは
64,192,320,.......という数列。
これは初項が64、公差が128なので、128で割ると64余る数の数列と言えます。

(5)
上記の通り、1984が最後まで粘ります。
ところで、1984を2進法に直すと11111000000となります。
これは次回につながる話として、頭に入れておいて下さい。


さて、次回はいよいよ2進法を利用しての考察です。
時間がかかるかもしれませんが、楽しみにしておいて下さいね。


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2016年 灘中学校 一日目 第10問 ~その3~ [中学受験算数]

さて、本日は2016年 灘中学校 一日目 第10問の最終回です。

10-2.jpg

以前の記事をご覧になっていない方は、以下より先にご覧ください。

2016年 灘中学校 一日目 第10問 ~その1~

2016年 灘中学校 一日目 第10問 ~その2~

先の2回で解説した方法は、どちらも似通ったものでした。
今回は、これとは異なるアプローチで解説します。

それは、直角三角形の向きを変える、といったものです。
向きを変えてあげる三角形は、△ABFです。

IMG_1599.JPG

以上にように、△ABFと合同な直角三角形△A'FBを、向きを変えて書きます。
そうすると、∠A'BFと∠AFBは共に直角なので、A'BとADは平行。
また仮定より、CF:FA'とCD:DBはともに2:3。
ここまでくれば、△CFDと△CA'Bが相似であると言えるでしょう。
よって、FD:A'B=CD:CB=2:5
A'B=AFであるので、
FDはAFの2/5倍、となります。

ものすごくシンプルです。最も単純な作業で出来る解法だと思います。

ここで気になる点があるとすれば、C・F・A'の3点が同一直線上にあるのか?といったこと。
念のために説明を付け加えておきます。

まず、以下の図のように角度を○と×と置きます。

IMG_1600.JPG

すると、○+×=90°となります。
また、直角三角形が合同であることより、
∠BA'F=∠BAF=○
∠A'FB=∠ABF

A'BとADが平行なので、∠DFC=∠BA'F=◯

ここまでを図に書くと、以下のようになります。

IMG_1601.JPG

すると、∠A'FB+∠BFD+∠DFC=×+90°+○=180°
となるので、A'・F・Cの3点は同一直線上にあると言えます。

その後は、同じですね。

IMG_1602.JPG

相似を利用して、答えを導きます。


この問題に関しての解説は、以上です。
次回解説する問題は・・・まだ検討をしていません。
灘の1日目・2日目を共に解いたのは良いのですが、予想以上にツッコミどころが無かったためです。
よってどのような内容になるか決めていませんが、できるだけ早く更新させていただきます。
ご期待下さい。


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2016年 灘中学校 一日目 第10問 ~その2~ [中学受験算数]

さて、前回に引き続き、こちらの問題です。

10-2.jpg

前回の記事をご覧になっていない方は、先にそちらをどうぞ。

2016年 灘中学校 一日目 第10問 ~その1~

今回ご紹介する方法は前回と類似してはいますが、より楽に処理ができるタイプです。
異なるのは、補助線の引き方です。

前回は以下のように引きました。

IMG_1515.JPG

が、今回はこのように引くことにします。

IMG_1584.JPG

以下、細かい解説です。


Bを通りFCに平行な直線と、ADとの交点をGとする。
すると、△BDGと△CDFは相似となるので、
DG:DF=3:2・・・①
BG:CF=BD:CD=3:2・・・②
ここで仮定より、AB:CF=3:2・・・③

IMG_1586.JPG

②・③より、AB=BG
よって△ABGは二等辺三角形となる。
ここでBFは二等辺三角形ABGへ引いた垂線であるが、
二等辺三角形の頂角から底辺に引いた直線は底辺を二等分するので、
AF=FG・・・④

①・④より、AF:FD:DG=5:2:3
したがって、FDはAFの長さの2/5倍となる。


以上です。
前回と比べて、比を合わせるのが格段に楽になっています。
また補助線の引き方もスマートで、見ていても分かりやすいですね。

さて、次回でこの問いの解説は最後です。
少し特殊な解法で解きたいと思います。
お楽しみに。


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2016年 灘中学校 一日目 第10問 ~その1~ [中学受験算数]

みなさん、こんにちは。

前回の予告通り、こちらの問題の解説を全三回に渡ってお送りいたします。

10-2.jpg

今年の灘の一日目のなかでは、得点が難しかったであろう問題です。
補助線の引き方だけでもいろいろと考えられるのですが・・・
ひとまず、自分の思いついた方法を面倒な順に説明していきたいと思います。

まず、補助線を以下のように引きます。

IMG_1515.JPG

以下、解説です。

Cを通り、ABに平行な直線と直線ADとの交点を点Gとする。
△ABDと△GCDは相似となるので、
∠BAD=∠CGD・・・①
AB:GC=BD:CD=3:2・・・②
AD:GD=BD:CD=3:2・・・③
AB:CF=3:2と②より、△GDFはCF=CGの二等辺三角形。
∴∠CGF=∠CFG・・・④

次に、点CからFGへ垂線CHを引く。
△GCFは二等辺三角形で、二等辺三角形の頂角から底辺へ引いた垂線は底辺を二等分するので、
FH=HG・・・⑤
△BAFと△CFHにおいて、
①・④より、∠BAF=∠CFH
また仮定より、∠BFA=∠CHF(=90°)
よって、△BAFと△CFHは相似。
∴AF:FH=AB:FC=3:2・・・⑥

③・⑤・⑥より、

IMG_1516.JPG

比合わせをして、(AGを35にする)
AF=15、AD=21
よって、FD=6
従って、FDはAFの2/5倍となる。


以上です。
比合わせが少々複雑なので、上記のように抜き出した線分図を書いた方が良いでしょう。
ちなみに、△BFDと△CHDも相似で、相似比は3:2となります。これを使っても良さそうです。

AF:FDさえ出れば、面積比は簡単に出てくるので、ここでは割愛します。
加比の理の利用の、お決まりパターンですね。
ポイントは1番で、1番が出来れば大多数の小学生は2番まで解けていると思われます。


さて、次回は似ているけれど少し異なる解法をご紹介します。
次は左側に補助線を引きます。
なんとなく予想してみてくださいね。

次回もご期待下さい。



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2016年 中学入試結果 & 問題解説次回予告 [中学受験全般]

みなさん、こんにちは。
今年の中学入試も、発表含め終了いたしました。
僕の受け持っていた生徒の合格校は・・・

洛南高附・甲陽学院・西大和・岡山白陵・大阪桐蔭(英数選抜)・甲南女子(スタンダード)・武庫川女子(スーパーサイエンス)・滝川第二(特進)・北嶺

でした。

今年は結構厳しい状況になる場面が多かったのですが、それでも最後までついてきてくれたことに感謝しています。
大きな壁を乗り越えたこの経験は、必ずこの先を生きる上での糧となるでしょう。

本当におめでとうございます。そしてお疲れ様でした。


さて、話しは変わりまして、次回予告です。

次回は・・・

10-2.jpg

こちらの問題を、数回にわたって解説します。
3つの解法を、現段階で思いついています。

ご期待下さい。


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2016年 灘中学校 一日目 第6問 考察 [中学受験算数]

皆さん、こんにちは。
関西は連日寒い日が続きますね・・・
と言えども、特別寒いわけではなく、例えば神戸の最高気温8度は平年並みとのことです。
年末年始くらいまでが、少し暖か過ぎましたね。
これからの寒さがより身体に堪えそうです。気を付けたいと思います。

さて、前回に引き続き2016年 灘中学校 一日目 第6問の考察です。
前回の記事をご覧になっていない方は、そちらからご覧ください。

2016年 灘中学校 1日目 第6問&生徒募集中!!

さて、あれからいろいろと考えてみましたが、最も気になったのは規則性についてでした。
つまり、桁数を変えるとどのような数が出てくるのか?と考えたのです。
この手の問題においては、桁数を変えて規則性を見出すのは定石なので、実際に試験会場で試してみた受験生も多いかもしれません。
というわけで、やってみました。

・77×77の場合
77×7=539なので、また例によってずらして書く。
すると、左側の最上位は上から3・9・5と並ぶ。
ここで、3・9から出てくる繰り上がりは1、残る数字は2。
5は当然残る。
と考えると、各位は2+5+1=8となり、
8×11=88となる。

・777×777の場合
777×7=5439。同様にずらして3つ並べる。
左側の最上位は上から4・3・9・5と並ぶ。
ここで気を付けなければならないのは、繰り上がりを考える際に4+3+9+5としてはならないことだ。
というのは、4・3・9は元々右側にあったのに対して、5は元から左側にあるからだ。
要するに、繰り上がってくるのは4+3+9=16の十の位である1のみで、5はそこに残るのみと言うこと。
以上より、各位の数字は6(残った一の位)+5(もともとの数字)+1=12
よって、12×111=1332となる。

・7777×7777の場合
7777×7=54439
左側最上位は上から4・4・3・9・5
4+4+3+9=20→繰り上がり2、残る数字0
各位の数字は0+5+2=7
よって、7×1111=7777

・77777×77777の場合
77777×7=544439
左側最上位は上から4・4・4・3・9・5
4+4+4+3+9=24→繰り上がり2、残る数字4
各位の数字は4+5+2=11
よって、11×11111=122221

と続きます。
結局のところ、左側の最上位に4がどんどん増えて行きますので、そこが規則のポイントのようです。
繰り上がりを考える際に5を省く必要がある点については、改めて気を付けるべきだと感じました。
5を入れると、繰り上がる数字が変わってしまいますからね・・・。
繰り上がりをループさせる(次々繰り上げ、左側最上位の繰り上がりを左側最下位へ戻す)ことで、
全ての位の数字をそろえることが目的ですから、このような考え方を取る必要があります。

この考え方が理解できれば、どのような桁数でも可能ですね。
例えば
77777777777777777777×77777777777777777777(20桁×20桁)の場合も解くことができます。
77777777777777777777×7=544444444444444444439
左側最上位は、4・4・4・4・4・4・4・4・4・4・4・4・4・4・4・4・4・4・3・9・5
4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+3+9=4×18+3+9=84
→繰り上がり8、残る数字4
各位の数字は、4+5+8=17
よって求める数は、17×11111111111111111111=188888888888888888887
となります。

※数字の個数が間違っていたら、すみません・・・



今年の灘の一日目は、他で見たことのあるような問題も多かったですね。
取り上げて面白い問題が少ない・・・。
紹介する意味のありそうなのは、あと1~2問程度かもしれません。
また後日、ご紹介いたします。


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2016年 灘中学校 一日目 第6問&生徒募集中!! [中学受験算数]

お久しぶりです。

今年は中学入試組の生徒さんの直前対策が例年に増して忙しく、ブログ更新が全く手につきませんでした・・・。
気づけば年も明けてしまっていますね。今年もよろしくお願いいたします。

さて、僕の生徒の結果はまだ出そろっていないので後日お話しするとして、そろそろ今年の入試問題の紹介をしていきたいと思います。

まずは灘中から。極めて"灘らしい"問題です。いってみましょう!

6番.jpg

まず、
7777777777×7777777777=(7777777777×7)×1111111111であることを理解します。
ようするに、
7777777777×7が10個、ズレて出てくるということです。
7777777777×7=54444444439ですので、

IMG_1475.JPG

のようになります。

ところで、この問いは「上の10ケタ」と「下の10ケタ」を分けて足すわけですから、この筆算でも分けておきます。
そして、下の10ケタ側(右側)を上の10ケタ側(左側)へ持っていきます。

IMG_1476.JPG

こうなると、左側を計算すれば良いのですが。

・・・さて、ここで疑問が浮かんだ方はスルドイ。

繰り上がりはないのか?

ですよね。
もちろん、繰り上がりは考慮に入れるべきです。
この計算の方法でこのまま足してしまうと、右側の最後の繰り上がりが掛かる部分が変わってしまいます
つまり、本来ですと左側の最下位に掛かるべきどころが、左側の最上位へ掛かることになってしまっています
(移動させているわけですからね)

その点に注意して計算します。

右側の最上位から繰り上がってくる数を考えましょう。
右側の最後の位の数の合計は、4×8+3+9=44ですね。
そしてその直前の位の合計は60を超えないので、この右側の最後の位の合計が50以上になることはありません。
よって、繰り上がりは「4」です。

さて、先ほどの話に戻りましょう。

IMG_1476.JPG

左側をタテに見てみると、実はどの位にも同じ数が並んでいることが分かります。
9+5+4×8+3=49
よって左側の最下位は「9」が残るはずなのですが・・・
実際は右側の最上位から「4」が繰り上がってきているので、「13」がのこっていると便宜上、考えます。

その次、左側の右から2番目の位も同じように考えます。
和はやはり49なのですが、その右の位からやはり4が繰り上がってきていますので、「13」が残ります。
この作業を繰り返し・・・
左側最上位も、やはり同様に考え、「13」が残ることを確認します。
(ただし、この左側最上位の繰り上がりは、前述の通り左側最下位へ繰り上がります)

以上より、全ての位の和は13となりますので、
13×1111111111=14444444443
これが答になります。


一応答えは出たものの、この問題は考察する余地のある問題です。
次回以降、もう少し細かく考察してみたいと思います。

考察記事はこちら。

2016年 灘中学校 一日目 第6問 考察


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