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2016年 西大和学園中学校 第1問(6) [中学受験算数]

さて、洛南の最終問題はここで説明するには複雑だったので、西大和へ移ります。
(説明を希望する生徒さんは直接聞いて下さい)

今日は大問1の小問集合から、一つ取り上げます。

大問1-6.jpg


二種類の考え方をご紹介します。

その1
□□□□□□の6つの□に、0または1を入れていくと考えます。
すると、2^8=64個、となります。
しかしこれは000000を含んでしまっているので、
64-1=63個
が正解です。

その2
000001~111111で0か1のみを使うということは、2進法の数字が隙間なく並んでいます。
つまり111111を10進法に直せば、111111が何個目の数字かが分かると言えます。
よって、1+2+4+8+16+32=63個
となります。



全て数字を出して足し合わせるのは厳しいので、位ごとに計算します。

□□□□□1・・・数字は2^5=32個。よって1×32=32。
□□□□1□・・・数字は2^5=32個。よって10×32=320。
□□□1□□・・・数字は2^5=32個。よって100×32=3200。
□□1□□□・・・数字は2^5=32個。よって1000×32=32000。
□1□□□□・・・数字は2^5=32個。よって10000×32=320000。
1□□□□□・・・数字は2^5=32個。よって100000×32=3200000。

これらを全て足すと、
32×(100000+10000+1000+100+10+1)=32×111111=3555552
となります。


位ごとに和を計算する考え方は、カードを並べて作ることのできるすべての数の総和と近いですね。
例えば、

1、2、3、4の4枚のカードを並べて出来るすべての数の総和を求めよ。

といった問題であれば、次のようになります。

解)
作ることのできる数字は24通り。
よって各位ごとに見ると、1~4がそれぞれ6つずつ出てくる。
ゆえに、各位の和は
(1+2+3+4)×6=60
となる。
十の位~千の位でも同様のことが言えるので、総和は
60×(1+10+100+1000)=66660
となる。

このように、どの位にも同じ数字が出てくる場合、位ごとに和を求めて計算します。
入試ではよく聞かれる内容ですので、押さえておきたいところです。


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2016年 洛南高等学校付属中学校 第7問 その2 [中学受験算数]

さて、前回の続きです。
前回の記事をご覧になっていない方は、以下よりどうぞ。

2016年 洛南高等学校付属中学校 第7問 その1

(3)
前提③より、(周の長さ)-(面積)=0になるということは、
正六角形が1つできるように転がせば良いことが分かります。
例えば、次のような形になります。

FullSizeRender.jpg

同じ数字が来るところに同じ記号を書いていくと、次のようになります。
前提①と②から考えます。

FullSizeRender (2).jpg

すると、□のみ1回で他の○、△、×は2回ずつ現れることが分かります。
よって合計を最小にするには、1回しか出てこない□を大きな数字にすれば良いわけですね。
すなわち、□には4が来れば良いことになります。
次にどのような転がし方が良いか、という話ですが、考えるのが面倒なので(1)を利用してしまいましょう。

IMG_2135.JPG

上の図の青斜線部(左下)が答の一つとなります。
その他にも5通り考えられますが、ここでは割愛します。


(4)
前提③を応用して考え、(周の長さ)-(面積)=-2となるとき、
正六角形が2つあるように転がせば良いと分かります。
例えば、以下のようになります。

FullSizeRender (3).jpg

(3)と同様に、同じ数字の入るところに同じ記号を書いていきます。

FullSizeRender (4).jpg

すると、△のみ2つ、他の○、□、×は3つずつ現れることが分かります。
従って合計を大きくするためには、△を1とすれば良いわけです。
よって合計は、
1×2+(2+3+4)×3=29
となります。


最初に受けた印象以上に、正六角形が鍵を握っています。
まさか(4)までずっと正六角形をひきずるとは、ぱっと見ただけでは気づきませんよね。
その意味では、正六角形を巧くテーマに組み込んできたな、といった印象を受けました。
面白い問題ですね。


さて、次回は洛南の最後の大問か、あるいは西大和からの問題をご紹介する予定です。
西大和もいくらか取り上げたい事柄がありましたので、ご期待下さい。
更新は、週明けになると思います。

それでは、失礼いたします。


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2016年 洛南高等学校付属中学校 第7問 その1 [中学受験算数]

さて、本日は予告通りに洛南の一問です。
正六角形を題材にした問題なのですが、いつもと少し雰囲気が違います。
問題を解き切ることができなかった小学生は、
正六角形がこの問題の大きなテーマであることに気付かなかったかもしれません。

問題を見てみましょう。
解説が長くなりますので、二回に分けて説明します。

0007.jpg

まず解く前に、前提となる事柄を確認しましょう。

前提①
IMG_2110.JPG
には、全ての数字が表れる。

これはどういうことかと言うと、三角すいを展開すると、このように展開できるからです。
三角すいを転がすことは、三角すいを切り開いていくことと同じ。
したがって、このような形に転がすとすべての数字が表れるんですね。

前提②
IMG_2111.JPG

正六角形の向かい合う組には同じ数字が表れる
正六角形の中心に三角すいの頭を置いて転がすと、正六角形になります。
この時底にある数字は表れないので、このように向かい合う場所には同じ数字(三組)が出てきます。
ちなみに、正六角形の外側はその三種類以外の数字です。(底の数字)


前提③
正六角形を作らなければ、常に(周の長さ)-(面積)=2となる。

正三角形を並べてみれば分かりますが、正六角形を作らずに並べた場合、
1つ正三角形を増やすたびに長さは1しか増えません。
周の長さと面積の差は、広がりも縮まりもしないんですね。
3辺増えるのですが、逆に元々あった1辺と新しい1辺が重なって消えるためです。
正三角形1つの(周の長さ)-(面積)=2であるため、前提③が成り立ちます。
逆に正六角形を作ってしまうと、作らない場合に比べて長さは-2となります。

以上を前提に、問題を説明していきます。


(1)
前提①、②ともに用います。
ただし、最初の1,2,3までは頭の中で想像して埋めましょう。

IMG_2112.JPG

そこから前提①、②をもとに、埋めていきます。

IMG_2113.JPG

埋まりました。
答はあ=1、い=3
です。


(2)
非常に差のつく問題です。
前提③から、正六角形さえ作らなければ、長さ8、面積6となることが分かります。
よって、細かいことは考えずに並べていけば良いです。

IMG_2114.JPG
まず最初の正三角形から考えます。
この次に転がす方向は、赤点線部の3つが考えられます。
よって3通り

次に、3つめの正三角形をどのように置けるかを考えます。
IMG_2115.JPG
2つ正三角形を置いたあと、2つの方向が考えられますね。
よって2通り

続いて、4つめを考えます。
IMG_2116.JPG
同様にして3つの正三角形を置くと、またまた2つの方向が考えられることが分かります。
よって2通り

以上より、最初は3通りで、そのあとはずっと2通りであることが分かります。
正三角形は6つあるので、5回動かすわけですから、
3×2×2×2×2=48通り
としたいところですが・・・これは正六角形を含んでしまっています
正六角形を作るには6通りの転がし方があるので、
48-6=42通り
となります。


さて、この時点で結構長くなってしまいましたので、続きは次回で。
ご期待下さい。

※続き、アップしました。

2016年 洛南高等学校付属中学校 第7問 その2


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2016年 洛南高等学校付属中学校 第6問 ~余事象~ [中学受験算数]

さて。
日にちが空いてしまいましたが、洛南からの1題です。

0006.jpg

整数問題の顔をした場合の数の問題です。
余事象の考え方を利用すれば、(3)もあっさりと解くことができます。
それでは、見て行きます。

(1)
100~999のうち、0を全く含まないものを考えます。
すると、1~9の数字しか使えないので、9^3=729個です。
100~999までは900個あるので、いずれかの位の0を含む数字の個数は、
900-729=171個

(2)
まず、10~99の90個の中には、10、20、・・・90の9個があります。

次に、1000~1999について考えます。
その1000~1999は、1000~10991100~1999に分けることができます。

1000~1099
どの数も、百の位に0を含みます。
よって、100個全てが0を含みます。

1100~1999
千の位の1を無視すると、実は(1)と同じことになります。
よって171個です。

次に2000~2016の17個ですが、これは全て0を含みます。
整理すると、

10~99→9個
100~999→171個
1000~1099→100個
1100~1999→171個
2000~2016→17個

これらを合計し、468番目となります。

(3)
さて、規則性に注目します。

10~99→90-9^2=9個
100~999→900-9^3=171個

となっているので、四桁の数も同様に考えられますね。

1000~9999→9000-9^4=2439個

この時点で、合計は2619個。
2620番目はその次なので、10000となります。


次回は洛南で定番の「六角形」絡みの問題をご紹介いたします。
お楽しみに。


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2016年 洛南高等学校付属中学校 第3問 ~円の位置関係・連立不等式~ [中学受験算数]

皆さん、こんにちは。
今回から、2016年度の洛南高付中より、問題をピックしていこうと思います。
今年も、終盤にかなり手ごわい問題を持ってきましたね。
明確なテーマを感じられる問題を中心に、解説していきます。

さて、第一回目の本日は、第3問です。

0003.jpg

(1)
2つの円の接し方には、二つあります。

・互いに外部にある場合
・一方が他方の内部にある場合

この場合、①と②が交わっている時間は、
②が①の内部にあって接しているときから①と②が互いに外部にあり、接しているときまでの時間
となります。
それぞれ何分後かを求めます。

②が①の内部にあって接しているとき
まず、逆方向へ進むので1+2=分速3cm近づきます。
円の中心どうしが30-25=5cm離れたときに②と①は接するので、
5÷3=5/3分後
すなわち1分40秒後です。

①と②が互いに外部にあり接するとき
円の中心どうしが25+30=55cm離れたときに外部で接するので、
55÷3=55/3分後
すなわち18分20秒後です。

したがって、
18分20秒-1分40秒=16分40秒間

(2)
さて、この問題は注意せねばなりません。
というのも、例えば①と②、①と③が交わっているからといって、②と③が交わっているとは限らないのです。
ですから、①と②、①と③、②と③がそれぞれ交わる時間を全て求める必要があります。
考え方は、(1)と同様です。

①と③が交わる時間
(30-20)÷(3-1)=5分後
(30+20)÷(3-1)=25分後
よって、5分後~25分後

②と③が交わる時間
(25-20)÷(2+3)=1分後
(25+20)÷(2+3)=9分後
よって、1分後~9分後

以上を、全て数直線上に表します。

IMG_2022.JPG

すると、全て交わっているのは5分後~9分後であることが分かります。
よって、4分間

(3)
(2)で書いた数直線から考えることができます。
どれか二つだけが交わっている部分は、次の赤斜線部となります。

IMG_2023.JPG

1分40秒-1分=40秒間
25分-18分20秒=6分40秒間
したがって、40秒間+6分40秒間=7分20秒間
これが答えです。


以上からお分かりの通り、数学的な考え方が必要な問題となっています。

・円の半径と位置の関係
・連立不等式

ですね。
一般的な学校であれば、高校1年生あたりに与えてみても良い問題かもしれません。
明快ながらも、論理的に整理する力が問われた良問と言えるでしょう。


さて、次回も洛南からの問題の予定です。
週末は多忙のため、更新は週明けになるかと思います。
お楽しみに。


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2016年 甲陽学院中学校 二日目 第6問 ~狂った時計~ [中学受験算数]

皆様、こんにちは。
さて、前回に「未定」とお伝えした問題解説ですが・・・
2016年甲陽学院二日目の最終問題を取り上げることといたします。

これも使い古されたネタで、いわゆる「狂った時計」です。
とくに狂った時計が二つ出てくるパターンは、条件整理が複雑で嫌われます。
算数がかなり得意と言える生徒ではないと、上手く解き切れません。

しかし逆に言えば、整理の方法さえ分かれば確実に得点に繋げることができます。
問題の内容自体は、大したことのない場合が多いためです。
それでは、見ていきましょう。

大問6.jpg

(1)
「狂った時計」の問題でまず必要なのは、経過時間の比です。
それも、正しい時間との比を求めないといけません。
本問では、

A:6分
B:4分
正しい時計:5分

が同時に起こっていますので、A:B:(正しい時計)=6:4:5となります。

となりますと、次に出発時間を整理します。
共に3時に出発したとのことですが、これはもちろん同時ではありません。
例えば2時からAが出発した3時までは、Aの時計で60分に当たります。
これはBの時計で言えば60×2/3=40分ですし、
正しい時計では60×6/5=50分です。

Bの出発時間も同じように計算すると、以下のように整理できます。

IMG_1947.JPG

図中の○は、同じ時刻を表します(Bが出発した時刻)。
さて、次にBが出発してからABが出会うまでの時間を計算します。
ABが出会うのは、Aの時計で短針・長針が2回目に重なるときです。
Aが出発する時点ではAの時計で3時ですから、そこから2回目に重なるときまでの時間は、
(90+360)÷5.5=900/11分
です。
つぎに88+66を掛ける計算をしたいのですが、そのためにはBが出発したときからの時間が必要です。
Bが出発したのはAの時計で3時30分ですから、
900/11-30=570/11分
となります。

さて。ここで注意が必要で、「分速」というのは正しい時計での1分あたりの速度なんですよね。
ですから、この570/11分も正しい時計での時間に直す必要があります。
570/11×5/6=475/11分です。

IMG_1948.JPG

従って、上図点線部分の合計距離は、
475/11×154=6650m

つぎに、Aが出発してからBが出発するまでに、Aが進んだ距離を計算します。
ここでも、分速88mは正しい時計での25分に掛ける必要があります。
88×25=2200m

従ってPQ間の距離は、
6650m+2200m=8850m

(2)
(1)の図より、Bは出発してからAと出会うまでにBの時計で380/11分かかっています。
よって、3時+380/11分=3時34分6/11分
6/11分≒33秒
よって、3時34分33秒


いかがでしたか?
本問を通じて、「狂った時計」の整理の仕方を少しでも理解していただけると幸いです。


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2016年 甲陽学院中学校 二日目 第5問 ~場合の数の規則性~ [中学受験算数]

さて、本日は予告通り、2016年甲陽学院の二日目より、場合の数の問題です。

難関校の算数にはありがちですが、場合の数には前の小問の結果を利用して規則性を考える問題があります。
数学の範疇まで広げて言えば、漸化式が成り立つようなパターンですね。
本問も同様で、前の結果を利用して解いていきます。
問題を見てみましょう。
ここでは(1)と(2)のみ取扱います。

大問5.jpg

この手の問題では、場合分けが鍵を握ります。
問いを解きながら、どのように場合分けをするかを考えていきます。

(1)
まず前提として、問題条件を満たすにはABを含む面を通り、そして他の面へ移ってはいけません
要するに、ABを横切ることは無いわけですね。
したがって、ABの左側の面を通る場合が何通りかを計算し、2倍すれば良いのです。

さて、問題では3段で4本を通る場合を聞かれていますが、まずは2段で3本を通る場合を考えます。

FullSizeRender (2).jpg FullSizeRender.jpg

最初の移動で左に行く場合を、左の場合
右に行く場合を、右の場合と呼ぶこととします。
(以下同様)

まず左の場合は、→(右)と[右斜め下](右下)に一回ずつ進めばよいので、2通り
右の場合は、[左斜め下]→と行くしかないので、1通り
よって計3通りとなります。

では、3段で4本通る場合はどうなるでしょう?

FullSizeRender (3).jpg FullSizeRender.jpg

左の場合は、→×1、[右斜め下]×2の分だけ進めばよいので、3通り
右の場合は、赤色斜線部を進むことになりますが・・・
これは、2段で3本通る場合と同じですね!
よって3通りです。
ゆえに、計3+3=6通り
ABの右側の面も同様なので、6×2=12通りとなります。

(2)
FullSizeRender (2).jpg FullSizeRender (3).jpg

左の場合は、→×1、[右斜め下]×3の分進めば良いので、4通り
右の場合は、(1)と同様に考えると3段で4本通る場合と同じで6通り
計4+6=10通り
ABの右の面も同様なので、10×2=20通り


ちなみに5段で6本通る場合はどうなるでしょう?
まず左の場合は→×1、[右斜め下]×4だけ進むので、5通り
右の場合は、4段で5本通る場合と同じで10通り
よって計15通りとなり、ABの右側も考えて30通りとなります。


いかがでしょうか。
難関校では、この手の前の結果を利用する問題が出ることが多いです。
問題としても整っているので、同じ問題ないし類題が、来年どこかで出題されるかもしれませんね。
新6年生は、必ず押さえておいて欲しい問題の一つです。

さて、次回更新は現時点では未定です。
甲陽の残り1問か、あるいは洛南か・・・。
更新まで、しばらくお待ちください。

それでは、失礼いたします。


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2016年 甲陽学院中学校 二日目 第2問 ~球の移動範囲~ [中学受験算数]

こんにちは。
打ち合わせが続き、少々更新が空いてしまいました。
明日も体験授業が入っています。
徐々に生徒さんが増えてきていますので、お悩みの方は是非お早目にご相談下さい。

さて、今回からは2016年甲陽学院中学校の二日目を取り上げることにします。
まずはこちらの問題です。

大問2.jpg

(1)は簡単なのでここでは取り扱わないとします。
(答は113.04㎤)
(2)を解くわけですが、その前に準備をしておきましょう。

問. 一辺15cmの正方形の内部で、半径3cmの円が動くことのできる範囲の面積を求めなさい。

まずこの問題を考えます。
お決まりの問題なので、図も省きます。
ここで改めて意識しておきたいのは、

・中心部
・辺
・頂点

の三種類の図形が表れることです。
中心部には、一辺9cmの正方形
には、3cm×9cmの長方形
頂点には、半径3cm・中心角90°の扇形が現れますね。
よって、
9×9+3×9×4+3×3×3.14×1/4×4=217.26㎠となるわけです。

さて、本題に入りましょう。
この問題は、上の正方形内の円の移動の問題を、立体図形へと持ち込んだだけです。
よって詳細な図などなくとも、考えることができます。

球が通ることのできる範囲は、以下のように四種類あります。

・中心部には、一辺9cmの立方体
・辺には、底面積が半径3cm・中心角90°の扇形である高さ9cmの柱体
・頂点には、半径3cmの球の1/8である図形
・面には、底面が一辺9cmの正方形である高さ3cmの柱体

です。

従って求める面積は、
9×9×9+3×3×3.14×1/4×9×12+113.04×1/8×8+9×9×3×6
=729+763.02+113.04+1458
3063.06㎤

となります。


立体図形が苦手だ、という学生は、立体図形と平面図形を切り離して考えてしまっていることが多いです。
問題の内容にもよるのですが、この手の問題は平面図形の拡張としてとらえると良いでしょう。

さて、次回は同じく甲陽の二日目より、場合の数の問題を取り上げます。
お楽しみに。


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2016年 甲陽学院中学校 一日目 第6問 ~速さと規則性~ [中学受験算数]

さて、今日は昨日の予告通り、2016年の甲陽学院中一日目、最後の問題です。

大問6.jpg

では、問題を解いていきましょう。

(1)
まず、時速を便宜上秒速に直します。
72km/h=20km/h
36km/h=10km/h
最初の間隔が90m。そして間隔が40mになると速度を落とすので、
つまり50mだけ近づけば、速度を落とすことになります。
よって前の車が速度を落としてから、次の車が速度を落とすまでの時間は、
(90-40)÷(20-10)=5秒、となります。

さて、ここで植木算の考え方です。
100台目の車が速さを落とすまで、間隔は99個あります。
よって5秒×99回=495秒かかることになります。
従って、午前10時+495秒=午前10時8分15秒

(2)
(1)の状況になった瞬間、先頭の車が90km/h(=25m/h)に速度を上げます。
この時点で、車の列には2つの現象が同時に起こります。

①前の車との間隔が40mに縮まると、速度を36km/hに下げる
②前の車との間隔が100mに広がると、速度を90km/hに上げる

のことが起こるには、先ほど計算したように5秒かかります。
一方のことが起こるには、同様にして計算すると
(100-40)÷(25-10)=4秒、かかることが分かります。
すると、①の減少が起こる「波」を、②の減少が起こる「波」が追いかけることになります。
②が①に追いつく瞬間を、考えます。

さて、ここで4と5の最小公倍数を取り、20秒ごとに整理することにします。
先頭から順に、車の番号を1~500まで打つことにします。

20秒後
まず、20秒の間に②の現象は5回起こります。
よって前から6台が90km/hとなります。
また同時に、①の現象は4回起こります。
すると100台目から数えて5台、36km/hとなることが分かります。
したがって90km/h・36km/hの車の番号は、それぞれ以下のように整理できます。

90km/h・・・1~6
36km/h・・・7~104 ←98台

以下同様に整理して、

40秒後
90km/h・・・1~11
36km/h・・・12~108 ←97台

60秒後
90km/h・・・1~16
36km/h・・・17~112 ←96台





と続けていくと、36km/hの台数が20秒で1台減っていることが分かります。
かといって20+20×98=1980秒となるかと言うと、そうではありません。
なぜならば、最後の一台が90km/hとなるのは、後ろの車が36km/hになるよりも早いからです。
すなわち直前までの20秒と異なり、36km/hの範囲が後ろへ伸びることが無いためです。
よって、最後の一台となるときまで整理します。
それは、20+20×97=1960秒後です。

1960秒後
90km/h・・・1~491 ←6+5×{(1960-20)÷20}
36km/h・・・492~492 ←1台

この1960秒後から、4秒後に492番の車は90km/hとなります。
よって合計で1964秒

従って求める答は、
午前10時8分15秒+1964秒=午前10時40分59秒
となります。


最小公倍数の20秒ごとに調べてみること。
最後に追いつかれる一台の処理。
この二点が主なポイントになりますね。
ある時間・量で区切って考えるのは、複雑な現象の問題を解くセオリーでもあります。
一つのツールとして、持っておくと良いでしょう。


さて、次回以降は2016年甲陽学院二日目からの問題をご紹介する予定です。
お楽しみに。


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2016年 甲陽学院中学校 一日目 第5問 ~面積の差~ [中学受験算数]

さて、引き続き甲陽学院の入試問題から引用です。
今日は、面積の差についてです。

面積の差を考えるときは、

①それぞれ面積を求めて引く
②等積部分を消去して差のみ求める

の2パターンが主にありますが、ここでは②を用います。
では、問題を見てみましょう。

大問5.jpg

ここでは(2)のみ扱います。

まず、ともに通ることのできる範囲を書きます。(赤斜線部)

IMG_1823.JPG

続いて、見える部分のうち、ともに通ることのない範囲を書きます。(青斜線部)

IMG_1824.JPG

さて、それぞれ整理していきましょう。
その前に、面に表れる範囲の形に、それぞれ次のように番号をうっておきます。

FullSizeRender1.jpg FullSizeRender.jpg FullSizeRender.jpg

FullSizeRender (2).jpg FullSizeRender (3).jpg

では、それぞれ整理します。

ともに到達できる範囲

①×2

ともに到達できない範囲

②×2+③×2+④×2

では、差を求めましょう。
まず、②と①の差を考えます。

②-①=⑤

となります。
そしてその⑤について考えると、

⑤=④×2-③

ですね。すると求める差は、次のようになります。

②×2+③×2+④×2-①×2
=(②-①)×2+③×2+④×2
=⑤×2+③×2+④×2
=(④×2-③)×2+③×2+④×2
=④×6
=(10×10-10×10×3.14×3/4)×6
=21.5×6
129㎠

となります。


今回の場合、それぞれの面積を求めることは困難です。
(正三角形の高さが出ていないため)
よって、このように等積部分を差し引いて求めるしかありません。
使い古されたテーマではありますが、面積の差に関する良い問題かと思います。
試験時間が55分であることを考慮すると、ここで点数に差がついたかもしれませんね。
甲陽を受験するレベルの小学生でも、意外とこの辺りの問題でバタつくものです。

さて、次回も甲陽の一日目より。
速さを利用して、規則性の問題です。極めて甲陽らしい。

次回もお楽しみに。


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