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「選挙の問題」は「最強のライバル」を考える [中学受験算数]

昨日、生徒の保護者の方から質問がありました。
「選挙の問題」を家庭で解説できません、助けて下さい!
といった内容でした。

コツは、「最強のライバル」を一人作ることです。

例えば、48人から3人の代表を選ぶ場合に、必ず当選する得票数を算出するとしましょう。
この場合、候補者も投票をすると仮定すれば、候補者の数は問題になりません。
というのも、3人が必ず当選する得票数を考える場合、「最強のライバル」1人を加え、
4人で48票を奪い合うと考えればよいからです。
すると48÷4=12票だと、4人が並んでしまって「当選するとは限らない」状態になります。
そこで1票を加え、12+1=13票の票を得れば、必ず当選する(=3位以内には入る)と分かります。

上の考え方の基本になるのは、
票が散らばると、当選する際の得票数が減る
という考え方です。
得票数が減ることは当選しやすくなる(=条件が緩い)と言うこともできます。
ですから、本問では真逆にあたる「当選しにくい場合」すなわち「票が集まる場合」を考えればよいのです。


さて、本日は夕方から中学受験指導です。
理科は「電流」を指導予定です。
過去問の国語を課題として出してありますので、そちらも答え合わせ&チェックです。

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「速さ」における比の考え方 [中学受験算数]

「速さと比」は、苦手な人が多い分野の一つです。
特に、「逆比」なのか「そのままの比」なのか、区別がついていない子どもが多い印象を受けます。
今日は、そのあたりについてヒントを提示しようと思います。

まず、そもそも「逆比」とは何なのか。
「逆比」とは、決して「比を逆にしたもの」ではなく、「逆数の比」のことです。
このことが理解できておかないと、例えば1:2:3など3つの数の比の逆比を間違えます。

次に大切なのは、2つの比の間に何らかの関係が成り立つ場合、もう一つの要素は等しいことです。
例えば、「速さの比」と「時間の比」について考えるとき、「距離」が等しい(一定)必要がある、ということです。

では、その「速さの比」と「時間の比」の関係はどうなるか。
速さの比が2:3であり、「距離」が等しい(=1と置く)とき、時間は1/2:1/3となります。
(時間=距離÷速さ)
これはまさに、逆数の比であり「逆比」にほかなりません。
つまり、「速さ」と「時間」は逆比になるわけです。
※そもそも、速さが速い方が時間は短くすむ、といった考え方も大切!

一方、「速さの比」と「距離の比」はどうか。
このときは「時間」が等しい(=1)必要があります。
速さの比を2:3とすると、距離は2×1:3×1=2:3となります。
逆比ではなく、「そのままの比」ですね。

同様にして考えると、「時間の比」と「距離の比」の関係も「そのままの比」となります。

以上のように、理屈から考えてあげると、「逆比」と「そのままの比」を間違えることはありません。
やたらと考え違いをしてしまう場合、そもそも上記のことが理解できているかどうか、確認されると良いでしょう。


さて、今日は中学受験算数の指導です。
「文章題」に加え、志望校の過去問(ついに!)に手を付けていきたいと思います。
志望校は啓明学院の生徒なのですが、過去問は10年分以上はありますので、古いものは時間を計らず、バラして演習に使います。

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2017年 洛南高校付属中 大問2(3) ~相似探し~ [中学受験算数]

さて、今日は2017年の洛南中より、相似探しの問題をご紹介します。
「相似形」というとついつい基本パターンばかり覚えさせられがちですが・・・
洛南ぐらいのレベルになってくると、そのような付け焼刃の学習は通用しません。
それでは、問題を見ていきましょう。

2017 洛南 算数 大問2-3 問題20170615_0000.jpg

上図においてAD:DCを求めなさい、という問題です。
たぶん相似だろうな・・・とは何となく思いつくかも知れませんが、どこの比が対応しておるかを考えないと、間違えてしまいます。
そのためには対応する角度または辺が分からないといけないわけで、そこが難しいポイントです。

基本的に、相似は
① 辺が多く分かっている場合・・・辺の比から相似を探す
② 角度が多く分かっている場合・・・等しい角度を探す
の2パターンがありますが、②のパターンがとても多いです。
本問も②のケースにあたります。

135度と40度、足すと180度になることに注目します。
すると、
∠DAB+∠DBA=45°
∠DBC+∠DBA=45°
となりますので、
∠DAB=∠DBCです。
同様にして、
∠DBA=∠DCBとなりますから、
△ABD∽△DBCと分かります。
(次の図を参考にしてください)

2017 洛南 算数 大問2-3 解説220170615_0000.jpg

よって、
AD:DB=DB:DC=1:2
AD=1とすると、
DB=2、DC=4となりますから、
AD:DC=1:4
となります。

ところでこの問題、有名な図(問題)に似ていませんかね・・・?
そう、これです。

2017 洛南 算数 大問2-3 解説20170615_0000.jpg

上の図の長さの比も、全く同じ方法で計算できます。

知っている事柄と、いかにしてつなげられるか。
知っている事柄を、本質的に理解できているか。

そのことを問うている、良い問題だと思います。


本日は中学受験算数の指導です。
ちょうど良いタイミングで、相似を指導する予定です。
その後、志望校別対策で速さ・図形を。

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2017年度 東大寺学園中入試問題 算数 大問1~計算の工夫~ [中学受験算数]

今日は計算の工夫の話です。
一口に「計算の工夫」なんて言っても山ほどパターンがあって、なかなか気づきにくいです。
(そこに気付ける生徒を学校は欲しがっている、とも言えます)
気づく能力は一朝一夕に身につくものではなく、熟練を要します。
スポーツと同じです。
説明を受けたところで、そして理解したところで、自分が実践できるかどうかは別問題。
むしろ、実際にやってみる方が難しいですよね。

さて、話が飛びましたが、今年の東大寺学園の入試問題を取り上げます。

(9+98+987+9876)-(1+12+123+1234)×8を計算しなさい。

といったものです。
そのまま解いても大した労力はかからないのですが、次のような解法がいかがでしょう。
なお、見やすくするため、通常ではカッコの不要な箇所にも付けてあります。

(9+98+987+9876)-(1+12+123+1234)×8
={(1+12+123+1234)×8+(1+2+3+4)}-(1+12+123+1234)×8
=1+2+3+4
10

発想のポイントは、
・左右のカッコ内の形(桁数)が似ていること
・左のカッコの中を8で割ると、右のカッコの中にさらに似てくること
の二点でした。

もちろん、逆に
(9+98+987+9876)-(1+12+123+1234)×8
=(9+98+987+9876)-(8+96+984+9872)
=1+2+3+4
10
としてもかまいません。
割り算・掛け算のどちらに自信があるかで、判断すれば良いと思います。

上の2つの解法に共通するのは、カッコ内を計算せず、バラしてしまうことです。
算数ではよく「分配法則を利用しよう」と言って、何でもまとめさせられがちです。
でも、場合によっては逆にバラした方が良いこともあります。
その良い例が、この問題なのではないかと思います。
ときには常識を疑いましょう!!

さて、本日は高校生の化学・英語・数学の指導です。
先週の塾の化学の解説がまだ出来ておらず、延長せざるを得ないかもしれません。
ですが、次の化学の授業までに内容をコンプリートしておくのはとても大切なことなので、妥協は一切無しです。

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図形におけるグラフ的な思考 [中学受験算数]

図形の問題は、何も図形の考え方だけを使わないといけないわけではありません。
グラフの考え方を持ち込むことで、上手く行くことがあります。
そもそも、グラフが図形なのですから、当たり前ではあるのですが・・・
良い例があります。

日能研本科6年32回オプション活用面積比20170609_0000.jpg

問題: 上の図の長方形ABCDにおいて、AE:EB=2:1、DE:FC=1:3である。また点Pは直線EF上を動く。三角形PBCの面積が長方形ABCDの面積の5/24となるとき、EP:PFを求めなさい。

この問題は、「日能研 本科テキスト 6年 第32回 オプション活用」からの引用です。

様々な解き方が考えられまして、例えば△EBPと△PCFの面積比の合計を求め、つるかめ算に持ち込んだりもできるでしょう。
ですがちょっと面倒なので、以下のような考え方をオススメします。

日能研本科6年32回オプション活用面積比解説20170609_0000.jpg

上の図において、
「赤の面積」は、全体の1/2×1/3=1/6
「青の面積」は、全体の1/2×3/4=3/8
となります。
(この問いに限らず、1/2を忘れないよう、最初に付けておくとよいでしょう)

ここで、点Pは直線(本当は線分)EF上を動くとします。
すると、点Pが線分EF上を動くと、ある一定の割合で△PBCの面積も変化します。
F側の方がBCを底辺として見た時の高さが高いので、EからFに向かうとすれば、一定の割合で面積は増加します。

そう、「一定の割合で変化する」・・・グラフ的な思考ですね。
中学生以上の知識で言えば、直線EFを一次関数として見て、直線上の点のy座標が△PBCの高さになっているわけです。

すると、EP:PF=(△PBC-「赤の面積」):(「青の面積-△PBC)=1:4
となります。

難関校でよく出題される内容で、灘中でも過去に出題されています。
難しい考え方ですが、マスターすれば周りに差をつけることができます。
是非使ってみてくださいね。


さて、本日は高校生の化学を指導した後、移動して中学生の英語・数学です。
化学は、平衡の分野を学習予定です。
中学生の英語は接続詞that、数学は連立方程式の利用を指導する予定です。

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「面積の和」を求める [中学受験算数]

先日行われた、日能研のカリキュラムテストから一題、ご紹介です。
急ぎでして、雑な図ですみません。

20170527_0120170601_0000.jpg

上図の斜線部の面積の和を求めるわけですが・・・
「面積の和」と書いてあると、たいてい、それぞれの面積は求まりません。
「角度の和」なんかも同様です。
この問いも例にもれず、それぞれの面積は求まりません。

ではどうするか?

まず、半円2つの面積を足し合わせます。
このとき有効なのが、「何重に重なっているかを書き込む」ことです。

20170527_01_120170601_0000.jpg

ここから斜線部のみに持っていくにはどうすればよいか・・・?
三角形の面積一つ分を、ここから引けばよいですよね。
すると、斜線部のみ「1」が残って、他の部分は「0」になります。
先ほど重なりの枚数を書き込んでおいたおかげで、目に見えて分かるんですね。

よって、「斜線部」=「半円2つ」-「三角形」
となります。

ところで、

20170527_01_220170601_0000.jpg

このDの部分は、半円2つ・三角形が全て綺麗に交わるのでしょうか?
答えは、「交わります」
なぜなら、∠ADBと∠CDAは直径AB、ACに対する円周角であるため、ともに直角になるからです。
本当はこの説明ではかなり甘くて、もっと細かい説明が必要ですが・・・ここでは割愛します。
疑問を感じた場合は、直接僕に質問してください。


さて、今日は中学受験算数の指導です。
図形の求積に加えて、志望校対策・公開模試対策も行う予定です。
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2017年度 甲陽学院中学校 算数 第一日 大問1(2) ~本来の「相似」~ [中学受験算数]

2017052720170530_0000.jpg

さて、昨日の深夜にいろいろと入試問題を見ていたところ、良いネタを見つけたのでご紹介します。

タイトルにあるとおり、今年の甲陽の問題です。
斜線部分の面積を求めます。

甲陽を受ける生徒にとっては新鮮味に欠ける問題だったかもしれませんが、題材は良いですね。
「図形の相似」を利用します。
ただ、よく言われる「三角形の相似」では一切なく、本来の意味(形が同じ)での「相似」です。

まず、最も外側の斜線部を求めましょう。
これははっきり言いましてかなり簡単で、最大の正方形から最大の円を引けば良いだけです。
10×10-5×5×3.14=21.5㎠
さて、次はその内側に行きましょう。
ここでポイントは、「正方形の中に円が入っている」図形はすべて相似であることです。
この図にはそれが3つあり、それぞれに大きさが異なります。
そして、図形が相似であることから、「正方形の面積比」=「円の面積比」=「斜線部の面積比」です。
円の面積比を求めるのはちょっと難しいので、正方形の面積比を考えれば良いんですね。

正方形の面積比は、最大のものを1とすると、1:0.5:0.25です。
これは、中の正方形を回転させて

20170527_0120170530_0000.jpg

この図まで持ってこれば分かりますね。

では、答を出しましょう。
「正方形の面積比」=「斜線部の面積比」がカギですよ!
最大の斜線部が、21.5ですから、あとは小さい順に1/2倍していき、10.755.375です。

この3つを足し合わせて、答は37.625㎠
となります。

面積計算は、分数でも良いですね。
分数ですと、5.375を算出する計算が少し楽に感じると思います。


本日はこの後、中学受験理科・国語の指導です。
理科は電流の復習と、宿題にしている水溶液分野のテストです。
国語は、論理エンジンおよび入試問題の解説です。
時間があれば、算数の志望校対策も行う予定です。

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2017年 灘中学校 算数 第一日 第4問 その②~水量注目~ [中学受験算数]

さて、前回の続きです。
ご覧になっていない方は、是非前回の記事からどうぞ。

2017年 灘中学校 算数 第一日 第4問 その①

といっても前回記事を見るのが面倒な方もいらっしゃるかと思いますので、もう一度問題を貼っておきます。

2017灘算数一日目第4問.jpg

最初の状態を整理しましょう。
AもBも☐%と濃度が等しく、砂糖水の量の比が3:1なので、砂糖の重さの比も3:1です。
また、水の量の比も3:1となります。

A・・・☐% 水③g+砂糖[3]g=450g
B・・・☐% 水①g+砂糖[1]g=150g

65gの砂糖を分けて混ぜたあとの状態も整理します。

A・・・20% 水③g+砂糖([3]+☆)g
B・・・10% 水①g+砂糖([1]+★)g

さて、ここでのポイントはA、Bそれぞれ水量変化がないことです。
すると、
A・・・水は砂糖水全体の80%にあたるので、砂糖水=③×(100/80)=300/80
B・・・水は砂糖水全体の90%にあたるので、砂糖水=①×(100/90)=100/90
となりますので、砂糖65gを加えたあとの状態で、

(砂糖水A):(砂糖水B)=(300/80):(100/90)={27}:{8}

と分かります。
{35}=600+65=665gなので、{1}=19g
よって、Aの砂糖水・・・19×27=513g、Bの砂糖水・・・19×8=152gとなります。
Aに加えた砂糖の量は513-450=63gと分かります。

ここからはAについての天秤算が楽でしょうか。

☐%の砂糖水450gに100%の砂糖水63gを加えると、20%になる

と考えると、☐= 20-80×(7/50)=8.8%
これが答えです。


一見難解な問題ではありますが、水の量に注目する水溶液の問題は算数に限らず、理科でもよく出題されます。
また、この考え方は水溶液の分野のみならず、算数の他の文章題の分野でもよく使う
「変化しないものに注目せよ」
の考えから来ていると考えれば、何ら不自然ではないんです。
(「和一定」「差一定」などいろいろありますよね)
普段から是非意識してみて下さい。解法の幅・解ける問題の幅が一気に広がります。

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◎現在のスケジュール

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火曜日・・・午前〇、夕方☓、夜☓(20時半もしくは21時以降、天王寺付近なら可)
水曜日・・・午前☓、夕方☓(4月以降はフリー)、夜〇
木曜日・・・午前〇、夕方☓(隔週)、夜☓(隔週)
金曜日・・・午前〇、夕方〇、夜☓
土曜日・・・午前☓、夕方△(打ち合わせ中)、夜☓
日曜日・・・午前☓、夕方△、夜△(ともに打ち合わせ中)

「打ち合わせ中」となっているところも、希望がございましたら優先させていただきますので、お気軽に仰って下さいね。
基本的に、早い者勝ちです。


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2017年 灘中学校 算数 第一日 第4問 その①~消去算という名の方程式~ [中学受験算数]

2017灘算数一日目第4問.jpg

さて、やっと問題解説を開始です。
といっても、私事ながら引越しを控えていますので、しばらくはゆっくりとしたペースになると思います。
ご了承ください。

まずは第4問。
1~3問が比較的取り組みやすいものだったため、おそらく受験生が最初につまづいたであろう問題です。

最初に考えついたのは、「てんびん算の利用によって消去算を行う(方程式を解く)」ものです。
まず、65gのうちAに入れた重さを○g、Bに入れた重さを△gとおきます。
そして、次のような図を書きます。

2017灘中算数一日目第四問解説1.JPG

するとてんびん算の基本にしたがって、逆比の部分が出てきます。

2017灘中算数一日目第四問解説2.JPG

これによって、問題文中の☐%についての式が立ちます。

Aについて・・・☐=20-80×(〇/450)
Bについて・・・☐=10-90×(△/150)

すると□が消去できます。

20-80×(〇/450)=10-90×(△/150)

変形すると、

80×(〇/450)-90×(△/150)=10

全体を450倍し、

80×〇-270×△=4500・・・①

となります。

さて、もう一つ式が必要ですね。(わからない数=未知数が2つありますから)
その式とはもちろん、

〇+△=65・・・②

です。

ここまで来れば、あとは消去算(という名の方程式^^;)ですね。
②×80-①をすれば、
△×350=700
が出てきますので、

△=2

です。すると

〇=63

となります。

すると、Aに注目し、

☐=20-80×(63/450)=8.8%

これが答となります。
しかしこれは誰がどう見ても「方程式」です。
現実には方程式を運用する小学生は多くいますが、一応禁じ手・・・
と言うよりも、方程式でないと解けない問題は、作るべきではありません。

逆に言えば、この問題も方程式を用いない解法が存在するということになりますね。
ポイントは、「水量に注目」です。
濃度の問題は、時折「水量に注目」する問題が出題されます。
これは、「文章題」においては「変化しない量」に注目することがとても重要であることと関係があります。
この「水量に注目」した解法につきましては、次回のblogで解説させていただきます。
しばしお待ちください。

次回へ続く!

さて、またスケジュールが若干変更になっています。

月曜日・・・午前〇、夕方☓、夜☓
火曜日・・・午前〇、夕方☓、夜☓(20時半もしくは21時以降、天王寺付近なら可)
水曜日・・・午前☓、夕方☓(4月以降はフリー)、夜〇
木曜日・・・午前〇、夕方☓(隔週)、夜☓(隔週)
金曜日・・・午前〇、夕方〇、夜☓
土曜日・・・午前☓、夕方△(打ち合わせ中)、夜☓
日曜日・・・午前☓、夕方△、夜△(ともに打ち合わせ中)

「打ち合わせ中」となっているところも、希望がございましたら優先させていただきますので、お気軽に仰って下さいね。
基本的に、早い者勝ちですので^^

2月に入り、中学受験塾は新しい学年になりましたね。
できるだけ早く、新しい学年のペースに慣れていきましょう。


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2017年 灘中 算数 第一日 [中学受験算数]

さて、先日一日目を解き終えました。
全体として、ごく平均的な問題が並んでいるな・・・といった印象を受けました。
トンデモない問題が無く、受験生も落ち着いて解くことができたのではないでしょうか。

個人的には、第6問の整数問題は面白いと感じました。
既に二種類のアプローチを思いついたので、また後日解説したいと思います。

その他、第7問も個人的には好きですね。
普段からカレンダーを眺めてあれこれ考える習慣がついているので、特に興味深かったです。
③で差がつきそうですね。ここを取れると、合格へ少し近づけるような問題ではないでしょうか。

長く灘で出題されてきた内容の詰まった一年に思えましたので、逆に来年が楽しみですね。笑
また僕らを驚かせるような問題、感心させるような問題を期待したいものです。


さて、スケジュールに若干の変更が出ています。

月曜日・・・午前○、夕方×、夜×
火曜日・・・午前○、夕方×、夜×(20時半もしくは21時以降、天王寺付近なら可)
水曜日・・・午前×、夕方×(4月以降はフリー)、夜○(夜は姫路~明石付近で19時半以降)
木曜日・・・午前○、夕方×(隔週)、夜×(隔週)
金曜日・・・午前○、夕方×(打ち合わせ中)、夜×
土曜日・・・午前×、夕方×、夜×
日曜日・・・午前×、夕方○、夜○

埋まっているところでも、調整次第で可能なことがあります。
お手数ですが、駄目元でご連絡いただけると幸いです。頑張って調整します。
また、直接指導に伺えない場合でも、何らかのお助けはいたします。ご相談下さい。


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