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数学的帰納法における式変形の仕方~3乗の和~ [数学]

今まで何人もの生徒に聞かれてきました。
「帰納法の変形なんてどうやったらひらめくんだ」
と。

でも帰納法の式変形はヒラメキでもカンでもなくて、論理立てて考えれば必ずたどり着くことができます。
(難易の差は勿論あります)

簡単な例を挙げましょう。

1^3+2^3+3^3+・・・n^3={1/2・n(n+1)}^2 を証明しなさい。

さて、n=1で成り立つことは、すっ飛ばします。(各自どうぞ)
次に、n=kで成り立つと仮定します。

1^3+2^3+3^3+・・・k^3={1/2・k(k+1)}^2・・・①

ここからが問題で、n=k+1で成り立つことを証明します。

これは1^3+2^3+3^3+・・・k^3+(k+1)^3={1/2・k(k+1)}^2+(k+1)^3・・・②の式を変形し、証明します。

このとき、この式の変形に困る生徒が多いんです。

この問題ではさほど苦労しないかもしれませんが、②の式の変形は、難しいものになると眺めるだけでは解けません。
ではどのように考えるか?ですが・・・
大切なのは、結果の式から考えることです。
結果として、どのような式が出てくれば、証明終了となるか・・・それを先に考えておくんですね。

本問で目指す結果の式は、
1^3+2^3+3^3+・・・k^3+(k+1)^3={1/2・(k+1)(k+2)}^2 です。
これは、①の式のkを全てk+1に置き換えた式です。  

では、②の右辺を変形していきましょう。
結果の式を見る限り、{1/2・(k+1)}^2でくくる必要があると予想できます。
したがって、

{1/2・k(k+1)}^2+(k+1)^3
={1/2・(k+1)}^2×{k^2+4(k+1)}
={1/2・(k+1)}^2×(k^2+4k+4)
={1/2・(k+1)}^2×(k+2)^2
{1/2・(k+1)(k+2)}^2

となります。

このように、最後に出てくる必要のある式を先に出しておくことで、どのような変形をすべきかの予想が立ちます。
また解説に適した問題があれば、随時ご紹介します。

さて、本日は中学受験生の理科・国語の指導予定です。
国語は入試問題、理科は抵抗と熱、磁界の分野へ入ります。

そろそろ夏休みです。
夏期からの指導・あるいは夏期のみの指導をご希望の方は、お早目にご相談下さい。
少しずつ埋まってきています。

それでは、失礼いたします。 ◎生徒募集中!
中学受験・中高一貫フォロー・高校受験・大学受験など。
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10人をA、B、Cの3組に分ける [数学]

さて、先日のblogで告知しました通り、「10人を3組に分ける」方法を説明します。

ここでは、最も難しいパターンである「人も部屋も区別する場合」を考えます。

<解>
まず、部屋にA、B、Cの名前を付けます。
このとき、空室が出る場合を気にせずに6人をA、B、Cの部屋にいれる方法の総数を考えると、
3^10通り
になります。

(これはどういうことかと言うと、10人それぞれが3部屋から1部屋を選ぶ、と考えていることになります。
コインを10回投げたとき、表裏の出方が2^10通りになるのと同じです。)

次に、空室になるときを考えます。
ここでヤヤコシイのは、「1部屋が空室になるとき」と「2部屋が空室になるとき」は、全く異なるということです。
順番に考えます。

・2部屋が空室になるとき
A、B、Cのうち1部屋に10人が集まることになるので、3通りしかない。

・1部屋が空室になるとき
この場合、まずどの部屋が空室になるかで3通りある。

次に、例えばAを空室にしたとすると、10人をA、Bの2部屋に入れることになります。
要するに、10人をA、Bの2部屋に分ける場合の数を考えれば良い。
・・・おや?これは前回の記事で解きましたね?
(2^10-2)通り、でした。
(この場合、A、Bの区別があるので÷2をしてはダメ)

そして、B、Cを空室にしたときも同じように(2^10-2)通りになりますので、全部合わせて
(2^10-2)×3通り、になります。

さて、答を求めますよ。
10人をA、B、Cの3組に分ける方法の数は、
3^10-{3+3×(2^10-2)}通り
となります。
(各自計算してください・・・)


これに近い問題にはほかにも
・10人を3人、3人、4人の3組に分ける
・10人を2人、3人、5人の3組に分ける
などのパターンもあり、こちらは全く異なるアプローチとなります。
先ほどのパターンの類似していて紛らわしいので、区別して学習することが大切です!


さて、本日は高校生の英語・数学の指導です。
英語は長文の解説、数学は三角関数・指数対数などの特殊な関数の復習を行います。
それでは、失礼いたします。


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10人を2組に分ける [数学]

昨日ある生徒より質問を受けましたので、ついでにご紹介します。
「10人を2つの組に分ける」、その分け方は何通りか?
といった、典型的な場合の数の問題です。
解き方としては、以下になります。

まず、A、Bの2組に分けると考えます。
「10人それぞれがAまたはBの2通りを選択できる」と考えると、
2^10=1024通り
となります。
しかし、これには「10人全員がA」「10人全員がB」の場合を含んでしまっているので、
1024-2=1022通り
としなければなりません。

そして、次にそのA、Bの区別をなくします。
ここからがイマイチ理解できていない生徒が多いのですが・・・
以下の説明で、いかがでしょうか。

例えば、(1,2,3,4,5,6)(7,8,9,10)という2組に10人を分けたとします。
A、Bの区別があるときには、
A(1,2,3,4,5,6) B(7,8,9,10)
B(1,2,3,4,5,6) A(7,8,9,10)
以上の2つは、異なるものとして数えています。
A組に入るのとB組に入るのとでは、全く訳が違いますよね。
学校のクラス分けを想像してみると良いでしょう。

一方、A、Bの区別が無い場合はといいますと・・・
上の2つは、1つとして数えなければなりません。
というのも、分け方に違いはなく、同じものだからです。

以上から考えると、
区別がある場合の2通りを、区別が無い場合は1通りとして考えることになります。
「2つが1つになる」のですから、「÷2」の計算が必要になりますよね。
ですから答えは、
1022÷2=511通り
となります。

さて、今回は2組なので比較的理解しやすいです。
しかしこれが3組になると、急に難しくなります。
手持ちの「理系数学のプラチカ 数学Ⅰ・A・Ⅱ・B」(河合塾)に良い例が載っていますので、後日ご紹介します。


本日は、高校生の数学と中学生の数学・英語です。
高校生は、数Ⅰの復習を行います。
中学生に関しては、連立方程式に入りましたので、そちらの確認です。
英語は、現在未来形・接続詞あたりを強化中です。

それでは、失礼いたします。


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A→BだからといってB→Aだとは限らない [数学]

皆さん、こんばんは。
GWも終わり、明日から学校・お仕事の方も多いと思います。
自分はと言えば、土日のみお休みをいただき、他の日は全て仕事でした。
あまり長い休みを取るのは好きではないので・・・2連休あれば十分です。

さて。
数学をまともに学んだ方なら誰でも分かる話です。
「AならばB」が真であるからといって、「BならばA」が真であるとは限らない
ということについて。

これを教える時にいつも思うのですが、結構理解できていない人たちが多いのではないでしょうか。
色々な方の様々な主張を読んで、そう感じることがままあります。

(ここでは論理積とかそのあたりの話は端折ります)

たとえば,
「東大卒の学生皆が仕事をできないならば、東大卒の学生A君は仕事ができない」
は真です。しかし、
「東大卒の学生A君が仕事をできないならば、東大卒の学生皆は仕事ができない」
といった具合です。
片方の事象はもう一方の事象に含まれている(A⊂Bのような状態)にも関わらず、A=Bと勘違いしてしまうのです。

「数学なんて生きるのに必要ない」なんて言われますが、そんなことは無いと思います。
論理思考に役立ちますし、答案の組み立てはプレゼンテーションのレジュメ作りにも通ずるものがあると思います。
食わず嫌いせずに、必ず役立つのでじっくり学んで欲しいです。
もちろん、大人が「数学なぞ要らん!」と子供に言うのは論外です。
そんな大人の話は聞くべきではありません。

数学を通じて、思考が広がるのが理想だと思います。


それでは失礼いたします。


◎現在の空き状況

月曜:夕方
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日曜:午前~夜

※夕方は16時~18時前後、夜は19時以降、午前は9時~12時前後。埋まっている時間帯でも、ご相談いただければ調整可能なことがあります。


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加法定理と2倍角・3倍角の公式 [数学]

いつも三角関数を教えていて思うことがあります。
皆、2倍角の公式を無理に(頭ごなしに)覚えようとしすぎではないか、と。

無論、公式を覚えるのは重要なことですし、実際は覚えていないと不利。
それは、僕自身も同意です。
しかし、公式丸覚えのみで、その公式を導き出せないというのは、いかなるものかと思うわけです。

中学・高校時代にお世話になった某先生が、おっしゃっていました。

「公式は、自分で証明できなければ使ってはいけない」

何をまた堅いこと言ってんだ?と思われるかもしれませんが・・・
これは至極真っ当なことですよ。
そもそも、公式の意味が分かっていないと、公式適用のミスだって起こります。
ユークリッド幾何でも、その定理よりも前に証明した公式・定理以外は使ってはならないことになっています。

三角関数に話を戻しましょう。
2倍角の公式は、加法定理さえ覚えていれば簡単に導けます。

sin2θ=sin(θ+θ)=sinθcosθ+cosθsinθ=2sinθcosθ
cos2θ=cos(θ+θ)=cosθcosθ-sinθsinθ=cos^2θ-sin^2θ=1-2sin^2θ=2cos^2θ-1
tan2θ=tan(θ+θ)=tanθ+tanθ/1-tanθtanθ=2tanθ/1-tan^2θ

ちなみに、半角の公式は、2倍角の公式の逆算だと思って解けば、簡単です。
一度やってみて下さい。
3倍角の公式は、2倍角の公式からさらに加法定理を適用します。
こちらも、是非チャレンジを。

極端な話、加法定理を覚えておけばどうとでもなります。
(でも一応、ちゃんと覚えて下さいね!)

上に書いたことは、チャート式など多くのテキストには載っていると思います。
ただ、例題などにはなっておらず、説明ページの下の方に薄い赤文字で載っていたりしますので・・・
よく見逃されてしまうんですね。

せっかくの機会ですので、隅々まで見る癖をつけられると良いです。

公式の多い三角比・三角関数ですが、ウマイこと乗り越えていきましょう。


☆生徒さん募集中!
(灘・甲陽など難関校志望の方・3~4時間の長時間授業をご希望の方、募集強化中!)

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作図ではコンパスを浮かせてはいけない!? [数学]


中高一貫教育をサポートする チャート式体系数学1 代数編―中学1、2年生用

中高一貫教育をサポートする チャート式体系数学1 代数編―中学1、2年生用

  • 作者: 岡部 恒治
  • 出版社/メーカー: 数研出版
  • 発売日: 2006/03/01
  • メディア: 単行本




最近、「体系数学Ⅰ」を教えていて、あることを思い出しました。

中学一年か二年の頃、数学の先生に 

「作図ではコンパスを浮かせてはいけない」

と言われたことを・・・。

もちろん、普通に作図を教えるときは、主に長さを移すときに、コンパスを浮かせて移動させます。

その教師は、その行為自体を否定していたような覚えがあるのです。

10数年前のことなので、記憶も定かなものではありません。詳細も、よく覚えていなければ、真意も明らかではありません。

しかし、妙に記憶に残っているので、少なくともそれに類することは言われたことは間違いありません。


ちなみに、その先生のプリントは、高3のころの分は残っていますが、中学の頃の分は見つかりません・・・。

ちゃんと保存しておけばよかったな、と今になって後悔しています。


教材の管理は大変ですが、なんでもかんでも捨ててしまうのは考え物ですよ。



☆生徒さん募集中!

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※夏期の短期授業も、承ります。もちろん、通常授業も募集中。一度、ご相談を。何卒お早めにお願いします。

鉄緑会 [数学]

ひょんなことから、鉄緑会の数学(中一)をピンポイント指導することになりました。

とりあえず、夏期教材のみ。


中一ということで、入学してからまだ4か月にも満たないはずですが・・・

内容自体は、すでに公立高校受験の難問のレベルまで達しています。


分野は、方程式~平面幾何(合同)にかけて。

方程式に関しては、立式能力の確立を。

平面幾何に関しては、論理性を重視し、飛躍や破綻の無い解答をめざすこと。

それぞれ、注目すべき分野も教え方も異なってきます。



鉄緑といえば、基本的に大学受験(それも医学部受験に強い)をターゲットに据えていることもあり、

一般的な高校受験教材とは趣を異にします。


特に平面幾何に関しては顕著で、証明問題を重視します。

これには大きな意味があり、やはり大学受験において必要な「論理的解答を書く」能力を中学時代からつけていくためです。

綺麗に数学の解答を書くのは、一朝一夕にできることではありません。

しかし6年間のスパンで見て鍛えれば、しっかり身に付きます。

そこにも、一貫校の強みがあると言えるでしょう。


ちなみに、僕の母校東大寺学園では、入学してすぐにユークリッド幾何学における「公理」「定理」などから入り、

平面幾何における諸定理の証明をすべてさせられました。

緻密に、確実に。破綻を絶対に許さない、神経質なまでの指導でした。

個人の意見として、これはものすごく有意義だったと思います。

これが無ければ、数学の解答はもちろん、論理思考力も身についていなかったでしょう。


公立中学や高校受験でも、もう少し論理思考を重視して欲しい・・・

そんなことを、最近思います。


さて、話は変わりますが、生徒募集の詳細ページを少し更新いたしました。

よろしければ、ご覧下さい。

お気軽にご相談いただければと思います。

それでは、今後ともよろしくお願いいたします。


☆生徒さん募集中!

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※夏期の短期授業も、承ります。もちろん、通常授業も募集中。一度、ご相談を。何卒お早めにお願いします。

公立高校数学はスピーディー [数学]

公立高校の数学の授業スピードに、驚いています。

僕自身の認識としてもそうなのですが・・・

高校数学は、よほど優秀な集団でない限り、2年や3年で理解することは不可能です。

(私立一貫校のカリキュラムは、この点において有利です)


僕の教えている生徒は、公立の中でも地域で3本の指には入る学校の生徒さんなのですが、

それでも、学年全体の出来が悪いです。

平均点も、50点台。最高点でも、80点台後半。


数学のテストは点数が取りやすいはずなので、100点がいない時点・・・ましてや、90点台がいない時点で、非常に問題だと思います。

平均点も、60点を切っているようですと、学年として理解できていない生徒の方が多いのでしょう。


今の時点(展開や因数分解)の時点でこの状態ですので、この先三角比などが出てくると、どうなることやら・・・。心配です。


文部省としても、中学・高校の実態を踏まえて、カリキュラムの再編成を思い切ってやらねばならないのでしょうか。

このあたりは、灘中・高の校長先生も働きかけておられるとのことです。

僕個人として、この働きかけを応援させていただきたいと思います。


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※時間・曜日の制限がかなりかかっている状況ですが…。是非ご相談下さい。一度お問い合わせいただければと思います!

公式の証明 [数学]

数学の能力を上げたいならば、公式の証明を自分で考えてみるのが良いと思います。

勉強時間に勉強としてやる、という感覚ではなく、暇な時間になんとなく考えてみる。

このなんとなく考えるというのはとても重要です。

寝転んでいても良いです。本読みながらでも、テレビ見ながらでも、ネットしながらでも良いです。

とにかく、何かを考えるんです。

普段から、頭を鍛えましょう。


さて、公式の証明ですが。

たとえば、簡単なところだと、対数の底の変換公式の証明はできますか?

(テキストに載っていないことも多いです)

あるいは、余弦定理は、どのように証明しますか?

座標設定でも解けることに、気づけましたか?


公式の証明だけで、ちょっとした有用な教材になり得ます。

数学、あるいは他の科目にも必要な、論理力もつきます。

もちろん、公式自体への理解も深まり、忘れることも少なくなります。

特に、三角関数の公式(2倍角や3倍角など)は、やってみる価値があるでしょう。

覚えるのに苦労するお子様の多い分野なので、いったん証明をしてしまうと、定着しやすくなります。

また、もし忘れてしまっても、その場ですぐに作ることができます(最終手段ですが)。

高いレベルを目指す方は、チェビシェフ多項式にも触れてみると良いでしょう。


公式の証明、今日から初めてみませんか??


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幾何の重要性 [数学]


灘校 なぜ「日本一」であり続けるのか (光文社新書)

灘校 なぜ「日本一」であり続けるのか (光文社新書)

  • 作者: 橘木俊詔
  • 出版社/メーカー: 光文社
  • 発売日: 2010/02/17
  • メディア: 新書



最近、こんな本をご家庭よりいただきました。

存在は知っていて、僕がこの本の話をしたのを覚えてくださっていて・・・。

本当に、ありがたいです。


「灘校」、という名前の本ですが、別に灘だけの話をしているだけではありません。

中学受験を志す方、あるいはもうすでに私立中学に入学されたお子様をお持ちの方は、一読の価値はあるかもしれません。


その中でも、古い話ではあるようですが、宮原先生という数学の先生のお話に興味を惹かれました。

メインとなる話ではないのですが^^;


宮原先生は、平面幾何を徹底的に指導されたようです。

「平面幾何は、頭を鍛える上で重要」

との主張がなされていますが、これは全くその通りだと僕も思っています。

確かに、幾何という分野は、受験をする上では必須ではないかもしれません。

大学入試でも出にくいですし、座標設定をして関数で解けてしまうことも多いです。


そんなこともあってか、幾何は実に軽視される、あるいは指導に問題がある場合が多いです。

論理の飛躍を見逃す、あるいは論理に破綻のある(説明が甘い)解法は証明を平気で説明する教師もいます。

数学を指導していて、もっとも問題があることが多いのは幾何です。


ただ、幾何は本当に重要。中学の平面幾何も重要。

数学の感覚、つまり「数覚」を磨くのにはもちろん、論理思考を鍛えるのにも役立つわけです。

これは最終的に文章力、総合的な思考力を鍛えることにつながり、数学の垣根を越えた能力形成につながっていくはずです。


こんな重要科目が軽視される現状に、非常に危機感を持っています。

僕の出身校の先生もおっしゃいました。

「早すぎるスピードで、幾何を含めた数学の理解はできるはずがない」と。

じっくりと、確実で論理的な理解を心がける必要があり、また指導者もその点に留意する必要があるのです。


理想は、中学時代にユークリッドの平面幾何の美しさを体感すること。

早すぎることでも、なんでもありません。

丸一年使っても良いでしょう。

かならずや、役に立ちます。


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