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ジュニア算数オリンピック [中学受験算数]

先日、生徒が「ジュニア算数オリンピック」のトライアル(予選みたいなものです)を受験し、見事通過しました。

ジュニア算数オリンピックは、算数オリンピックよりも低い学年を対象にしています(小5以下)。
そのためか、算数オリンピック以上に出題範囲に偏りがあり、違った難しさあるように思います。
そもそも小5の夏の段階であのレベルの思考力を身につけるのは、小6の夏に間に合わせるよりもシビアかなと。

この度のトライアルに向けての指導で重視したのは、まずは「解法にたどり着く理由」です。
「なんとなく」でずっと問題に取り組んでいると、どこかの時点で限界がきます。
ですから、生徒が生来持っている優れた感覚に加え、問題条件から論理的に解法を選択するよう訓練します。
そうすれば、手詰まりになったときに活路が開けます。
それによって、スコアも安定する・・・というわけです。

加えて、「規則を以って調べ上げる」ことの大切さを説きました。
思いついたものから調べていたのでは、数え漏れ・被りが多発します。
よって、「辞書的配列」に代表されるよう、あくまで何らかの決まりに従って調べる癖をつけてもらいました。

以上の指導は、まだまだ完璧ではありません。
中学入試のその日まで、徹底的に叩き込んでいくつもりです。

これから一か月弱、ファイナルに向けての対策を行います。
トライアル対策で学んだことを生かし、納得のいく結果を出してくれることを期待します。


それでは、今日はこのあたりで。


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2018年度 (平成30年度)洛南高等学校附属中学校 入試問題 算数 大問5 ~その2~ [中学受験算数]

さて、前回の続きです。
前回の内容をご理解いただいた上で話を進めますので、まだ読んでいない方はどうぞ。

2018年度 (平成30年度)洛南高等学校附属中学校 入試問題 算数 大問5 ~その1~

問題を再掲します。
2018洛南大問5.jpg

それでは、参ります。

(3)
前回の(2)でも触れましたが、それぞれのカードは、取り出される回数が異なります。
①、100・・・1回
②、99・・・2回
③、98・・・3回
④~97・・・4回
です。
この(3)では、50枚の1が、どのカードに書かれているか。
すなわち、50枚の1がそれぞれ何回取り出されるかで、合計の数が決まります。
全て調べると大変な目にあいます。
ここでは、最大の場合と最小の場合のみ求めます。

最大の場合
50枚全て4回ずつ出る場合なので、
(50枚すべてが④~97の間にある場合)
1×4回×50枚=200

最小の場合
1回が2枚、2回が2枚、3回が2枚、残り44枚は4回の場合なので、
1×1回×2枚+1×2回×2枚+1×3回×2枚+1×4回×44枚=188

以上より、合計として考えられるのは、
188~200の13個


(4)
合計が380というのは、100枚しかないことを考えると、とても多いです。
よって、4回取り出されるカードができるだけ多いときから、調べていきます。

(ⅰ) 全て4回が95枚のとき
実は、この場合はムリです。
なぜなら、(3)で触れている通り、4回取り出されるのは94枚が限界だからです。

(ⅱ) 4回×94枚のとき・・・4回取り出されるカードの選び方は1通り
残りは、380-4×94=4
4は、
3回+1回・・・3回は3 or 98で2通り、1回は1 or 100で2通り。よって2×2=4通り
2回+2回・・・2 and 99の1通り
2回+1回+1回・・・2回は2 or 99、1回+1回は1 and 100の1通り。よって2通り
7通り
よって、1×7=7通り

(ⅲ) 4回×93枚のとき・・・4回取り出されるカードの選び方は94通り
残りは、380-4×93=8
8は、
3回+3回+2回・・・2通り
3回+3回+1回+1回・・・1通り
3回+2回+2回+1回・・・4通り
7通り
よって、94×7=658通り

(ⅳ) 4回×92枚のとき・・・4回取り出されるカードの選び方は、94×93÷2=4371通り
残りは、380-4×92=12
12は、
3回+3回+2回+2回+1回+1回・・・1通り
よって、4371×1=4371通り

(ⅱ)~(ⅳ)を加えて、
7+658+4371=5036通り
これが答えです。


場合の数としては例を見ないくらいに、状況把握が難しい問題のように思います。
差がついた問題と言えるでしょう。
学習の参考にしていただければ幸いです。

さて、今日は午前から高卒生の英語・化学。
夕方からは、新中一の英語・数学の指導です。
全く学年は違いますが、二人とも新学期へ向けて・・・ということになりますね。

それでは、今日はこのあたりで。


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2018年度 (平成30年度)洛南高等学校附属中学校 入試問題 算数 大問5 ~その1~ [中学受験算数]

こんにちは。
本日は、2018年の洛南より、場合の数の問題をピックアップ。
ちょっと変わったタイプの問題です。
一見、無限の場合の数があるんじゃないか?と思われそうな問題ですが・・・
実は、結構条件が厳しかったりします。
その、場合の数が絞り込まれる条件を見出すのが、場合の数の難問の基本になります。
さっそく、問題を見てみましょう。

2018洛南大問5.jpg

(1)~(4)までありますが、今回は(2)までを解説します。

(1)
まずは条件整理といきたいのですが、どう書いていけば見やすく整理できるか・・・
早速、そこが分かれ目になります。
一例として、僕は次のように書いてみました。

2018洛南5-120180221.jpg

上の例は、<1>=<2>=・・・<97>=2のときです。
<1>で取る1番目~4番目までが、(1, 1, 0, 0)とします。
では、次の<2>で取る2番目~5番目はどうなるかといいますと・・・
2~4番目は、(1, 0, 0)と既に決めてしまっていますので、和を2にするためには(1, 0, 0, 1)となります。
同様に次々調べていくと、上の図のようになります。
すると、<4>までで周期になることが分かります。
条件を満たすためには、<5>=<1>となるんですね。
これはすなわち、
最初の<1>のカードを決めれば、<97>まで自動的に決まる(選択の余地がない)
ことを表しています。
よってこの問題は、最初の<1>で取るカードが何通りあるかを聞かれているだけなんです。
調べましょう。
(1, 1, 1, 1)・・・1通り
(1, 1, 1, 0)・・・4通り
(1, 1, 0, 0)・・・6通り
(1, 0, 0, 0)・・・4通り
(0, 0, 0, 0)・・・1通り
16通り


(2)
続きまして(2)です。
問題の仮定より、<1>=4とありますので、(1, 1, 1, 1)と決まります。
(1)でも申し上げたとおり、<1>で取るカードが先に影響していきます。
本問ではどのように影響していくか、整理してみましょう。

2018洛南5-220180221.jpg

上図のように、<4>の一部までを決定し、その和が10であることが分かります。
となりますと、残りは17-10=7です。
この残りの7が、どこで出てくるかを考えれば良いことになります。

ここでポイントになるのが、
⑤~97・・・4回
98・・・3回
99・・・2回
100・・・1回
と、それぞれ登場回数が決まっていることです。(上図を縦に見て下さい)

さて、7を作りましょう。1がどの番号にあるか、を調べていきます。

(ⅰ) ⑤~97に1枚(1×4=4)、98(1×3=3)
(ⅱ) ⑤~97に1枚(1×4=4)、99(1×2=2)、100(1×1=1)

上のように、2種類の場合があると分かります。
4回登場するのは1枚ちょうどの場合のみなので、とても少なくなります。

それでは、合計の場合の数を求めます。
(ⅰ)(ⅱ)ともに、4回登場の1枚のみ、⑤~97の93通り
その他の3回、2回、1回のぶんは、すべて1通りずつですね。
よって、(ⅰ)(ⅱ)ともに場合の数は93通りとなります。

したがって、
93×2=186通り

ここまできっちり図解する必要はないかもしれませんが・・・
複数回の試行を全て視覚化できているので、我ながら有効な手段だと思います。
(実際に授業で指導するにしても、この考え方をベースに教えるでしょう)
この問題に全く歯が立たなかった受験生は、ぜひこの考え方を使って、(4)まで解ききって下さい。

次回は、(3)~(4)の解説を予定しています。
お楽しみに。

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2018年度 (平成30年度)洛星中学校 入試問題 算数 大問5(2) ~進み方の場合の数~ [中学受験算数]

前回に引き続き、洛星の大問5です。
前回分をまだご覧になっていない方は、ぜひ。

2018年度 (平成30年度)洛星中学校 入試問題 算数 大問5(1) ~進み方の場合の数~

さて、さっそく(2)の問題を見てみましょう。
今回も(ア)は単純なので、(イ)のみ取り上げます。

2018洛星大問5-2.jpg
(イ) 3秒後に交差点Bにいるような動き方は何通りありますか。

前回ご紹介した(1)では、1秒ごとに場合の数を書き込んでいきました。
この(2)でもそうすれば良いのかと思ったのですが、この問題は違ったアプローチが出来ます。
せっかくなので、そちらをご紹介します。

まず、3秒でBに戻るには、どのような形を描いて動けばよいか・・・を考えます。
すると、2秒で戻るには直線を行き来するしかなかったように、
3秒のときはBを頂点に含む最小の直角三角形を描けば良いと分かります。

Bを含む直角三角形は、Bを頂点に含む最小の正方形の中に3つずつあります。
その最小の正方形は4つありますから、3×4=12個
これが、直角三角形の個数です。

直角三角形を描いて動く場合の数は、時計回り・反時計周りの2通り
よって、
12×2=24通り

これが答えになります。
動く道筋としては、実は(1)のほうがややこしいんですね。
(2)も数字を書き込んでいくと面倒かもしれませんが、上の方法ですと計算ですぐに解けます。
いかがでしょう。


今日は、午前中から高卒生の英語・化学指導です。
単語テストは順調に合格してくれていて、このペースで5月くらいまで続けると1200語近くになります。
まずはそこが目標ですね。
化学は、いよいよヘンリーの法則に入りました。
現役時代に躓いた分野のようなので、丁寧に学習します。

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2018年度 (平成30年度)洛星中学校 入試問題 算数 大問5(1) ~進み方の場合の数~ [中学受験算数]

本日はお休みをいただいております。
(突然の呼び出しがなければ・・・)

本日取り上げるのは、2018年の洛星中より、「進み方」の問題です。

2018洛星大問5-1.jpg
(イ)このとき、4秒後に交差点Aにいるような動き方は何通りあるか。

実際には(1)だけで(ア)(イ)の二題が出題されているのですが、ここでは(イ)のみ取り上げます。
(ア)は結構簡単なので・・・

ちなみにこの(イ)も難関校受験生にとってはスタンダードで簡単に解ける問題です。
にも関わらず取り上げたのは、後日ご紹介する(2)との並びが厄介だったためです。
似たような問題なのに、同じように解かない方が良い・・・という、引っ掛けみたいな要素があります。

前置きはこのくらいにして、本題に入ります。
ここでは、1秒後、2秒後・・・と、それぞれの点にくる場合の数を図に書き入れていきます。

2018洛星大問5-1イ20180218-1.jpg

2秒後の図に示された点以外に進むと、4秒後にAへ戻ってこれません。
よってこれらの点以外は無視します。
続けましょう。

2018洛星大問5-1イ20180218-2.jpg

以上より、答えは36通りとなります。

次回、(2)もご紹介しますので、しばしお待ちください。

それでは、今日はこのあたりで。


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2018年度 (平成30年度)洛南高等学校附属中学校 入試問題 算数 大問4(3) ~直角三角形の相似~ [中学受験算数]

二回に続いて取り上げてきました、2018年の洛南中、大問4。
今回は最終回の、(3)です。
前回および前々回を未読の方は、ぜひぜひ。

2018年度 (平成30年度)洛南高等学校附属中学校 入試問題 算数 大問4(2) ~対称図形~

2018年度 (平成30年度)洛南高等学校附属中学校 入試問題 算数 大問4(2) ~追記~

さて、さっそく今回の問題を見てみましょう。

2018洛南算数大問4-3.jpg

円がありますので、基本に従って、中心から頂点へ、補助線を引きます。
ただ全て引いてしまうと見辛いので、ここでは一部の線のみ引きます。
加えて、中心から辺に向かって、垂線を下ろします。
これはむやみに引いたわけではなく、「直角三角形」「相似」あたりがアヤシイよね?という考えからです。
ほら、台形を見たら・・・垂線とか、引いてみたくなりますから。(ならない?)
(もっと言えば、6÷2=3cmと5cmで、3:5・・・とくると3:4:5、直角三角形がアヤシイ)

で、引いた結果がこちら。

2018洛南算数大問4-3-120180215-1.jpg

ここで、左上(右上)がなんだか寂しいなと思いますよね。
(寂しい=このままでは上底の長さにつながらない)
よって、こんな作図もしてみます。
相似形ができるので、3:5に着目し、長さも求めておきます。

2018洛南算数大問4-3-120180215-2.jpg

×の角度が同じ理由は、中心から頂点に補助線(=半径)を引いたとき、
下底・左の辺・右の辺にできる二等辺三角形が、すべて合同になるからです。
続いて、次のように考えます。

2018洛南算数大問4-3-220180215-2.jpg

上の図でのポイントは、「×-○と90°を含む直角三角形」の辺の比が25:7であることです。
これと相似な直角三角形、実はこんなところに出てきます。

2018洛南算数大問4-3-320180215-1.jpg

これで、上底も求まりましたね。
6+(42/25)×2=9 9/25 cm


図形の中に二種類の直角三角形が登場する。
この手の問題は、難関校には頻出ですね。
2018年だと、甲陽の二日目にも出題がありました。(少々露骨でしたが)
図中に直角三角形を見つけると、ついつい全て相似なのではないかと思いがちなんですが・・・
その心理を突いた問題なのかもしれませんね。
思い込みを捨て、慎重に判断したいものです。

本日は午前中から、高卒生(浪人生)の英語・化学指導です。
英語が不定詞の復習&読解。
化学は、気体の溶解度へと突入する予定です。

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2018年度 (平成30年度)洛南高等学校附属中学校 入試問題 算数 大問4(2) ~追記~ [中学受験算数]

さて、昨日の記事の追記です。
まだ読んでいない方は、是非前回分から読んでみて下さい。
図形の基本知識があれば、理解できると思います。


2018年度 (平成30年度)洛南高等学校附属中学校 入試問題 算数 大問4(2)

問題を再掲します。

大問4-2.jpg

早速説明に入ります。
まず、△ABEと△CBDは相似形です。(二角相等)
よって、AE:CD=AB:CBとなります。(対応辺の比)
ここで仮定より、AE=ADですから
AD:CD=AB:CB
となります。
これはよくよく考えてみると、角二等分線の性質で出てくる比ですね!
よって、角二等分線の性質の逆から、
直線DBは∠ADCを二等分する
と言えます。
∠ADCは120°ですから、
∠ADB=∠CDB=60°
となります。
すると、∠AEB=∠CDB=60°です。
そうすれば、「あ」の角度も計算できますね。

ただ、小学生の範囲で「角二等分線の性質」の話をおおっぴらにしてよいものか?というタテマエの疑問は一応持っておきたいので・・・
あくまで参考程度、ということで。
(証明できるなら、大いに使って下さい)

次回は、同じ洛南の大問4の(3)の予定です。
こちらはちょっと灘の一日目っぽいというか、イイカンジのざっくり感が心地よい問題です。
(受験生はたまったものじゃないかな?)

今日は朝から、4月で中学一年生になる生徒の英語・数学指導です。
中学受験を終えてから、一か月ぶりの指導です。
同じ生徒とはいっても内容が変わってくるので、どのような指導にしていくか、楽しみですね。

それでは、このあたりで失礼します。


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2018年度 (平成30年度)洛南高等学校附属中学校 入試問題 算数 大問4(2) ~対称図形~ [中学受験算数]

こんにちは。
今日は、超難問の解説です。
2018年の洛南高校附属中、大問4の(2)。
今年の中学入試問題でも、最難関の部類ではないでしょうか。
それでは、まず問題をご覧ください。

大問4-2.jpg

見たことがありそうで、見たことがない。
一見単純そうで、実は糸口がつかめない。
厄介なタイプの問題です。
ただ、等しい辺にクローズアップした問題ですから・・・
正三角形二等辺三角形が絡む問題の可能性が高いです。
そこから、場合によっては相似形合同が絡んできますよね。

とは言っても、本問は、このまま眺めていても埒が開きません。
というわけで、次のように作図します。

大問4-2-120180215.jpg

どういった作図かと言いますとこれは直線ACについて線対称に作図したものです。
なんとかして、正三角形が重なる状態にもっていく方法を考えた結果が、こちらです。
まず、△ADE'と△AED'が正三角形になります。(∠DAE'と∠EAD'は60°、それぞれ二等辺三角形)
よって、∠AED'と∠ADE'も60°です。
すると、「あ」=180°-(60°+42°)=78°
となります。

続いて、∠BDCと∠BD'Cも60°です。

大問4-2-220180215.jpg

すると、やはり△FD'C、△F'DCも正三角形となり、
∠FCB=∠FCD'-∠BCD'=60°-42°=18°
よって、「い」=180°-(78°+18°)=84°
となります。

とにかく、正三角形をいかにして見つけるか(作るか)、がカギを握ります。
洛南を受けに来る生徒の学力がいくら高いからと言っても、ちょっとこれはハードだったかなあと思います・・・。
他の問題とのレベルの兼ね合いを考えると、解けなくても合否に影響のない問題だったと言えるでしょう。

この問題は極端に難しいですが・・・
等しい辺があるところには正三角形・二等辺三角形が隠れている
という原則に、改めて実感できる問題だと思います。
(難しいですけどね)

ちなみに、∠ADBと∠CDBが60°であることは、他の方法でもわかります。
(算数の範囲を超えている気もするのですが・・・)
また次回にでも、ご紹介しますね。


今日は朝から授業です。
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2018年度 (平成30年度)灘中学校 入試問題 算数 第一日 大問10~正六角形~ [中学受験算数]

さて、本日は2018年の灘中 一日目から、正六角形の問題です。
正六角形と言えば洛南なイメージがありますが(校章が正六角形を含む)、もちろん他の学校でも頻出です。
本日ご紹介する問題は、単純に見えるけれど考えてみると難解で、しかし基本に忠実にやればあっさり解けてしまう。
そんな問題です。
では、実際に見てみましょう。

大問10.jpg

似たような問題が長方形においても出題されたりしますが、正六角形となると難しいですね。
長方形ならば、等しい面積が簡単に出てくるのですが・・・。
でも、正六角形の問題のパターンとして、補助線を引くというものがあります。
そしてその補助線は、正三角形を作るように引くことが多いです。

大問10-120180209.jpg

ただ、この問題はこれだけでは解けません。
問題で提示されている面積を、どうにかして使えないかどうか、考えます。
補助線を引いたことで同じ長さがたくさん出てきますよね。
同じ長さあるところに同じ面積ありですから、その方向へもっていきましょう。

大問10-220180209.jpg

同じ面積、出て決ましたね。
全て面積を書き入れると、以下のようになります。

大問10-320180209.jpg

ここで、
大きな正三角形の面積=(3+5+8)×3=48

小さい正三角形の面積は、大きな正三角形の面積の1/9倍ですから、

小さい正三角形の面積=48×1/9=16/3

以上より求める面積は、
8-16/6=8/3
となります。

見た目がシンプルなだけに、解法が思いつかなければ焦ってしまいそうですが・・・
そこはやっぱりシンプルに、基本通り、落ち着いて補助線を引けばよい。
そういった問題でした。
差のつく一問だったのではないでしょうか?


2018年(平成30年)の灘中 一日目の解説は、今回で終了。
次回以降は、また異なる問題をご紹介します。

それでは、失礼いたします。


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2018年度 (平成30年度)甲陽学院中学校 入試問題 算数 第二日 大問1~時計算~ [中学受験算数]

先日の記事で少し予告した通り・・・
2018年(平成30年)の甲陽学院中 二日目の大問1より、もう一問ご紹介。
同じ「円周12等分」ですが、今度は時計算です。

「円周12等分」は、今回で3問めです。
その他の問題も、ぜひ。

2018年度 (平成30年度)灘中学校 入試問題 算数 第一日 大問8~円周12等分~

2018年度 (平成30年度)甲陽学院中学校 入試問題 算数 第二日 大問1~円周12等分~

さて、本題に入ります。

大問1-2.jpg

少し変わった問題ですが、時計算において「目盛りが分からない」問題は、パターンとして存在します。
今回は、針の間の角度が指定されているタイプです。
ところで、図に惑わされてはいけません。
問題には「なす角100°」としか書いておらず、長針・短針の位置関係は書いていません。

もちろん、二つの場合が考えられます。

大問1-2-1.jpg

左の場合
短針があと10°動けば、短針が目盛りに来る、すなわち「ちょうど~時」になります。
短針は10°動くのに20分かかりますから・・・
「あと20分で、ちょうど~時になる」
と分かります。
ということは、今は「~時40分」であると分かります。
すると、長針は8ですね。

右の場合
短針があと20°動けば、短針が目盛りに来る、すなわち「ちょうど~時」になります。
短針は20°動くのに40分かかりますから・・・
「あと40分で、ちょうど~時になる」
と分かります。
ということは、今は「~時20分」であると分かります。
すると、長針は4ですね。

以上から、時計の目盛りはそれぞれ次のようになります。

大問1-2-220180207.jpg

よって、
左の場合・・・4時40分
右の場合・・・7時20分
となります。

ポイントは、頭の中で針を動かしてみることです。
「100°になる前は、どうなっていたのだろう?」
「100°になった後は、どうなるのだろう?」
といった具合ですね。
この場合ですと、それぞれここから広がる場合ここから近づいてく場合です。

「何時に出会うか」「何度になるか?」だけが時計算じゃないんです。
公式や解法にとらわれず、柔軟な発想を持ちたいものですね。

それでは、失礼いたします。


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